Note di algebra

Note di algebra

Work in progress

Martino Garonzi

Versione 4.0 del 08/05/2010

“If I can still be standing on my feet then life isn’t so bad.”

(Sylvester Stallone)

Indice

Capitolo 1. Gruppi 7

1. Generalità 7

2. Azioni di gruppi 20

3. Gruppo simmetrico 24

4. Gruppi abeliani finitamente generati 27

5. p-gruppi e Teoria di Sylow 28

6. Gruppi nilpotenti 33

7. Sottogruppi normali minimali 37

8. Gruppi risolubili 39

9. Sottogruppi notevoli 46

10. Estensioni di gruppi 48

11. Teoria di Hall 51

12. Gruppi transitivi e primitivi 55

13. Alcuni gruppi piccoli 60

14. I gruppi alterni 63

15. I sottogruppi massimali di S 70

n

16. Esercizi sui gruppi 74

Capitolo 2. Categorie 83

1. Anelli e moduli: cenni 83

2. Categorie: definizioni ed esempi 91

3. Il lemma di Yoneda 96

4. Funtori rappresentabili 100

5. Funtori aggiunti 102

6. Prodotti, coprodotti, nuclei, conuclei 103

7. Limiti 107

Capitolo 3. Campi e teoria di Galois 117

1. Anello dei polinomi e campo delle frazioni 117

3

4 Indice

2. L’endomorfismo di Frobenius 120

3. Struttura di un’estensione semplice 121

4. Formula dei gradi 123

5. Campi di riducibilità completa 125

6. Separabilità dei polinomi irriducibili 131

7. La pura inseparabilità 135

8. Campi perfetti 137

9. Il gruppo di Galois e le corrispondenze 138

10. Relazioni tra gradi e indici 139

11. Estensioni di Galois 142

12. Normalità e stabilità 143

13. Estensioni di Galois finite 145

14. Le funzioni simmetriche elementari 147

15. Sui campi finiti 149

16. La funzione di Moebius 155

17. Il teorema dell’elemento primitivo 157

18. Chiusure split 159

19. Traccia, norma, estensioni di Galois cicliche 160

20. Campi ciclotomici 164

21. Determinazione del gruppo di Galois 167

22. Il teorema fondamentale dell’algebra 178

23. Risolubilità per radicali 180

24. Costruibilità 186

25. Altri risultati 189

Capitolo 4. Topologia e sue applicazioni algebriche 191

1. Spazi topologici 191

2. Spazi metrici 199

3. Spazi compatti, ultrafiltri e prodotti 202

4. Intermezzo: topologia quoziente 206

5. Assiomi di separazione e lemma di Urysohn 207

6. Funzioni continue a valori reali 210

7. Spettro di un anello 211

8. Il caso di e dei P.I.D.. Gli spazi affini 212

Z

9. Il caso di 214

Z[X]

10. Una giustificazione agli schemi affini 215

11. Applicazione limiti proiettivi: i gruppi profiniti 217

Indice 5

12. Applicazione limiti induttivi: localizzazione 226

13. Teoria dei fasci e spazi anellati 229

Indice analitico 237

Capitolo 1

Gruppi

1. Generalità

Definizione 1 (Semigruppi, monoidi, gruppi). Un semigruppo è una coppia (S, dove S è un insieme (detto “supporto” del semigruppo) e

∗ × → 7 → ∗

: S S S, (s, t) s t

è una funzione detta “operazione binaria interna”, che sia associativa, cioè tale che s∗(t∗r) = (s∗t)∗r per ogni s, t, r ∈ S.

Un monoide è un semigruppo (S, che possegga un elemento neutro per ∗, ovvero un elemento e ∈ S tale che s∗e = e∗s = s per ogni s ∈ S. Un gruppo è un monoide (S, tale che per ogni s ∈ S esiste t ∈ S tale che s ∗ t = t ∗ s = e; un tale t si denota con s⁻¹ e si dice inverso di s. Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) S si dice commutativo o abeliano se per ogni s, t ∈ S si ha s ∗ t = t ∗ s.

Notazione: Un semigruppo/monoide/gruppo viene denotato con (S, dove ∗ è l’operazione. Per alleggerire la notazione, se l’operazione è dichiarata altrimenti o sottintesa, un semigruppo/monoide/gruppo (S, viene denotato semplicemente dal suo supporto S. A meno di dover distinguere diverse operazioni o di avere altre esigenze notazionali, l’operazione in un gruppo non verrà indicata con simboli, cosicché x ∗ y verrà piuttosto indicato con xy. In virtù della proprietà associativa, un prodotto del tipo (xy)z = x(yz) verrà indicato con xyz. Riferendoci ai gruppi, piuttosto che parlare di cardinalità parleremo di “ordine”.

Esempio: (N − {0}, +) è un semigruppo (commutativo) ma non un monoide. 7

8 1. GRUPPI

Esempio: (N, +) è un monoide (commutativo) ma non un gruppo.

Esempio: (Z, +) è un gruppo (commutativo). L’inverso di n è −n.

Z

Osservazione: in un monoide l’elemento neutro è unico: se e, e⁰ sono due elementi neutri allora e⁰ = e⁰ ∗ e = e per definizione.

Unicità dell’inverso: in un gruppo l’inverso di un elemento è unico: se t e r sono due inversi di s allora da rs = sr = st = ts = e segue r = r(st) = (rs)t = t. L’inverso di s si denoterà s⁻¹. Possiamo usare lo stesso argomento per dimostrare che (s⁻¹)⁻¹ = s.

Cancellatività: se in un gruppo G si ha xy = xz o yx = zx allora y = z. Infatti se xy = xz allora y = x⁻¹xy = x⁻¹xz = z, e l’altro caso è analogo.

Esempio: l’insieme delle funzioni biiettive {1, 2, 3} → {1, 2, 3} è un gruppo con l’operazione di composizione, la sua cardinalità è 6 e non è commutativo (esercizio). Più in generale dato un insieme X, l’insieme Sym(X) delle funzioni biiettive X → X è un gruppo con la composizione, non commutativo a meno che |X| ≤ 2. Se X = {1, 2, ..., n} allora Sym(X) verrà denotato Sym(n) o S_n e chiamato “gruppo simmetrico su n oggetti”. Si ha |Sym(n)| = n! (esercizio).

Definizione 2 (Potenza). Siano (G, ∗) un gruppo, g ∈ G, n ∈ N. gⁿ è una notazione per indicare l’elemento g ∗ g ∗ ... ∗ g (dove i g sono n) ottenuto iterando l’operazione. Poniamo inoltre per definizione g⁻ⁿ := (gⁿ)⁻¹ = (g⁻¹)ⁿ.

N.

Esercizio 1. Siano G un gruppo, g ∈ G. Mostrare che se m ∈ N allora g^mgⁿ = g^m+n, (g^m)ⁿ = g^nm. In particolare l’insieme {gⁿ | n ∈ N} è anch’esso un gruppo.

Z

Definizione 3 (Gruppo ciclico). Un gruppo G si dice ciclico se esiste g ∈ G tale che ogni elemento di G è della forma gⁿ per un qualche n intero positivo. In tal caso g si dice generatore di G e G viene denotato con ⟨g⟩. Un generico gruppo ciclico finito di ordine n si indica con C_n.

Un gruppo ciclico è abeliano perché un elemento commuta sempre con le sue potenze.

Esempio: (Z, +) è un gruppo ciclico.

Esempio: (Z/nZ, +) è un gruppo ciclico di ordine n.

Esercizio 2. Dato un gruppo ciclico G = ⟨g⟩ di ordine n, mostrare che i generatori di G sono tutti e soli gli elementi di G della forma g^m con m coprimo con n.

Da quest’ultimo esercizio segue che il numero di generatori di G è uguale al numero di interi compresi tra 1 e n e coprimi con n. Tale numero viene usualmente indicato con ϕ(n). La funzione ϕ : N → N − {0} si chiama “ϕ di Euler”.

Esercizio 3. Sia ϕ : N → N la funzione di Euler. Si hanno i seguenti fatti.

• Se p è primo e n > 0 è un intero allora ϕ(pⁿ) = pⁿ⁻¹(p − 1).
• Se m, n sono interi positivi coprimi allora ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
• Se n = p₁^e₁...p_r^e_r dove i p_i sono primi a due a due distinti allora ϕ(n) = (p₁ − 1)p₁^e₁−1...(p_r − 1)p_r^e_r−1.

Cosicché per esempio ϕ(360) = ϕ(2³ 3² 5) = ϕ(2³) ϕ(3²) ϕ(5) = (2 − 1) 2² · (3 − 1) 3 · (5 − 1) = 96.

Definizione 4 (Ordine di un elemento). Dato un gruppo G e dato un suo elemento x, l’ordine di x in G è per definizione la cardinalità del gruppo ciclico ⟨x⟩, ovvero il più piccolo intero positivo n tale che xⁿ = 1 se tale n esiste, infinito altrimenti. L’ordine di x si indica con |x|.

Osservazione: Se G è finito allora ogni suo elemento ha ordine finito: per vedere questo prendiamo x ∈ G e consideriamo l’insieme delle potenze xⁿ di x in G; siccome G è finito tali potenze non sono infinite, quindi esistono due interi distinti n > m tali che xⁿ = x^m. Moltiplicando a sinistra per (x^m)⁻¹ otteniamo 1 = x^−mxⁿ = x^n−m. Quindi l’ordine di x è finito essendo minore o uguale di n − m.

10 1. GRUPPI

Esercizio 4. Siano G un gruppo, g, h ∈ G tali che gh = hg, e |g| = s, |h| = t siano finiti. Mostrare che |gh| divide il minimo comune multiplo tra s e t, e che se s e t sono coprimi allora |gh| = st.

Notazione: se un semigruppo è abeliano l’operazione viene abitualmente indicata con +. Se l’operazione è indicata con + l’eventuale elemento neutro è indicato con 0 (zero), altrimenti con 1 (uno).

Attenzione: questo non significa che non si possa decidere di usare la notazione additiva per semigruppi, monoidi o gruppi non abeliani.

Definizione 5 (Omomorfismi e nuclei). Dati due semigruppi (risp. monoidi, gruppi) (S, ∗) ed (T, ∗⁰), un “omomorfismo” tra S ed T è una funzione f : S → T tale che f(s ∗ r) = f(s) ∗⁰ f(r) per ogni s, r ∈ S, e che inoltre mandi l’eventuale elemento neutro di S nell’eventuale elemento neutro di T. Un tale f si dice “monomorfismo” se è insiemisticamente iniettivo, “epimorfismo” se è insiemisticamente suriettivo, “isomorfismo” se è insiemisticamente biiettivo. Se esiste un isomorfismo S → T si dice che S e T sono isomorfi e si scrive S ≅ T. Se S, T sono (almeno) monoidi, il “nucleo” di f è ker(f) := {s ∈ S | f(s) = 1}.

Esempio: Dati due gruppi G e H, la funzione G → H che manda tutto in 1 è un omomorfismo, il suo nucleo è G e la sua immagine è {1}.

Esempio: (R, +) e (R_>0, ∗) sono gruppi abeliani. La funzione f : (R, +) → (R_>0, ∗), x ↦ e^x è un isomorfismo di gruppi.

Definizione 6 (Automorfismi). Dato un qualsiasi gruppo G, un automorfismo di G è un isomorfismo G → G. L’insieme degli automorfismi di G viene denotato con Aut(G), ed è un gruppo con l’operazione di composizione. Il suo elemento neutro è la funzione identità G → G.

Esercizio 5. Mostrare che End(C_n), l’insieme degli omomorfismi C_n → C_n, è un anello rispetto a somma e composizione isomorfo a Z/nZ e che Aut(C_n) ≅ U(Z/nZ), dove U(Z/nZ) è l’insieme degli elementi invertibili rispetto alla moltiplicazione dell’anello Z/nZ.

Esercizio 6. Un omomorfismo di gruppi f : G → H è iniettivo se e solo se ker(f) = {1}.

Esercizio 7. Se f : G → H è un omomorfismo iniettivo di gruppi allora f conserva gli ordini degli elementi: |f(g)| = |g| per ogni g ∈ G.

Esercizio 8. Dato un omomorfismo di gruppi f : G → H si ha f(g⁻¹) = f(g)⁻¹ per ogni g ∈ G.

Esercizio 9. Due gruppi ciclici di ordine n sono isomorfi. Segue che ogni gruppo ciclico di ordine n è isomorfo a (Z/nZ, +).

Definizione 7 (Prodotto diretto). Se G e H sono due gruppi allora l’insieme G × H è un gruppo con l’operazione “per componenti”: (g₁, h₁) · (g₂, h₂) := (g₁g₂, h₁h₂). L’elemento neutro risulta essere (1, 1). G × H con questa operazione si dice il prodotto diretto (esterno) di G e H. Per estensione, se G₁, ..., G_n sono n gruppi l’insieme G₁ × ... × G_n con l’operazione per componenti è un gruppo, detto il prodotto diretto (esterno) di G₁, ..., G_n.

Esercizio 10. Mostrare che un prodotto diretto di gruppi abeliani è un gruppo abeliano, ma che un prodotto diretto di gruppi ciclici non è necessariamente ciclico.

8. Sottogruppi, classi laterali e quozienti

Definizione 8 (Sottogruppi, classi laterali e quozienti). Dato un gruppo G, un sottogruppo di G è un sottoinsieme H di G contenente 1, chiuso per l’operazione di G (cioè tale che se a, b ∈ H allora ab ∈ H) e contenente l’inverso di ogni suo elemento. Equivalentemente si tratta di un sottoinsieme non vuoto H di G tale che per ogni a, b ∈ H si ha ab⁻¹ ∈ H.

12 1. GRUPPI −1

Se H è un sottogruppo di G si scrive H ≤ G. Un laterale destro di un sottogruppo H di G è un sottoinsieme di G della forma Hg := {hg | h ∈ H} per un g ∈ G; un laterale sinistro è un sottoinsieme di G della forma gH := {gh | h ∈ H} per un g ∈ G. Un sottogruppo N di G si dice “sottogruppo normale (di G)” se gng⁻¹ ∈ N per ogni g ∈ G, n ∈ N, o equivalentemente gN = Ng, ovvero gNg⁻¹ = N, per ogni g ∈ G. Se N è un sottogruppo normale di G si scrive N ⫳ G.

E

In tal caso definita in G la relazione di equivalenza “x ∼ y ⇔ xy⁻¹ ∈ N”, possiamo dotare l’insieme quoziente G/N della struttura di gruppo data dall’operazione (gN⁰)(g⁰N) := gg⁰N (tale operazione è ben definita perché N è normale). Si tratta dell’unica struttura che rende l’applicazione canonica G → G/N un omomorfismo.

Dimostrazione (delle asserzioni fatte).

• H ≤ G se e solo se ab⁻¹ ∈ H per ogni a, b ∈ H: supponiamo H ≤ G, e siano a, b ∈ H; allora b⁻¹ ∈ H perché b ∈ H, e ab⁻¹ ∈ H perché H è chiuso rispetto all’operazione di G. Viceversa sia H un sottoinsieme non vuoto di G tale che ab⁻¹ ∈ H per ogni a, b ∈ H. Sia a ∈ H (esiste perché H è non vuoto); allora prendendo b = a otteniamo che 1 = aa⁻¹ ∈ H. Presi x, y ∈ H scegliamo a = x e b = y e otteniamo x(y⁻¹) = xy⁻¹.
• Dato N ≤ G, gN = Ng (cioè g⁻¹Ng = N) per ogni g ∈ G se e solo se gng⁻¹ ∈ N per ogni n ∈ N, g ∈ G. Supponiamo che gN = Ng per ogni g ∈ G, e sia n ∈ N. Allora gn ∈ gN = Ng, quindi gn = mg per un opportuno m ∈ N, e gng⁻¹ = mgg⁻¹ = m ∈ N. Supponiamo che gng⁻¹ ∈ N per ogni n ∈ N, g ∈ G. Dato gn ∈ gN, si ha che gn = (gng⁻¹)g ∈ Ng dato che gng⁻¹ ∈ N. Viceversa dato ng ∈ Ng, si ha che ng = g(g⁻¹ng) ∈ gN dato che g⁻¹ng ∈ N.
• Se N è normale allora la posizione (gN)(hN) = (gh)N definisce bene una operazione che rende G/N un gruppo. Basta osservare che gN hN = gh(h⁻¹Nh)N = ghN N = ghN. L’elemento neutro di G/N è N, e l’inverso di gN è g⁻¹N.

Esempio: Dato un gruppo G, {1} e G sono sottogruppi di G. {1} è usualmente chiamato il sottogruppo banale. Un sottogruppo H di G si dice “proprio” se H ≠ G.

Esercizio 11. Siano G, H due gruppi. Mostrare che G × {1} e {1} × H sono sottogruppi normali di G × H.

Dati n sottogruppi H₁, ..., H_n di un gruppo G, indichiamo con H₁...H_n il sottoinsieme {h₁...h_n | h_i ∈ H_i ∀i = 1, ..., n}.

Esercizio 12. Siano H, K due sottogruppi di un gruppo G. Mostrare che |HK| = |H| · |K|/|H ∩ K|.

Esercizio 13. Siano G un gruppo, N₁, ..., N_t sottogruppi normali di G tali che N_i ∩ (N₁...N_i−1N_i+1...N_t) = {1} per ogni i ∈ {1, ..., t}. Mostrare che il sottogruppo di G generato da N₁ ∪ N₂ ∪ ... ∪ N_t coincide con N₁...N_t ed è un sottogruppo normale di G isomorfo al prodotto diretto N₁ × N₂ ×...× N_t. Un tale sottogruppo si dice “prodotto diretto interno” di N₁, ..., N_t.

Svolgimento: risolviamo dapprima il caso t = 2. Sia H := (N₁ ∪ N₂) il sottogruppo di G generato da N₁ e N₂. Consideriamo N₁N₂ := {xy | x ∈ N₁, y ∈ N₂}. Si tratta di un sottogruppo di G perché se x, z ∈ N₁ e y, w ∈ N₂ allora (xy)(zw) = x(yzy⁻¹)(yw) ∈ N₁N₂ perché yzy⁻¹ ∈ N₁ essendo N₁ normale in G, e yw ∈ N₂ essendo N₂ un sottogruppo di G; inoltre (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹ = (y⁻¹x⁻¹y)y⁻¹ ∈ N₁N₂ perché y⁻¹x⁻¹y ∈ N₁ essendo x⁻¹ ∈ N₁ e N₁ normale in G, e y⁻¹ ∈ N₂. Questo prova che N₁N₂ ≤ G. Siccome ogni sottogruppo di G contenente N₁ e N₂ deve contenere N₁N₂, si deduce che H = N₁N₂. N₁N₂ è normale in G perché se g ∈ G, n₁ ∈ N₁ e n₂ ∈ N₂ allora g⁻¹n₁n₂g = (g⁻¹n₁g)(g⁻¹n₂g) ∈ N₁N₂ in quanto N₁ e N₂ sono normali.

Ora mostriamo che dall’ipotesi N₁ ∩ N₂ = {1} segue che ogni elemento di N₁N₂ si scrive in modo unico come n₁n₂ con n₁ ∈ N₁, n₂ ∈ N₂. Se infatti n₁n₂ = xy con x ∈ N₁, y ∈ N₂...