Formule Communication technologies

1 2° Lecture

• Formula sinuosoide generale: x(t) = Acos(2πf t + γ)0
• Formula segnale nel caso in cui sia somma di tante sinusoidi: x(t) = A cos(2πkf + γ )k 0 kk
• Formula segnale periodico: x(t) = x(t+T ) con T che è il periodo e la frequenza f uguale0 0 01a f =0 T 0
• Equazioni sintesi e analisi per segnale periodico:+∞ j2πkf tP– x(t) = X e 0kk=−∞T 0+ −j2πkf1 tR x(t)e– X = 2 0k TT 0−0 2
• j∠X|X |eGenerico coefficiente di Fourier: X = kk k
• tP −Funzione rect periodica: x(t) = lT )Arect( 0t=−∞ T
• Funzione sinc periodica: sinc(α) = sin(πα)• πα
• Equazioni sintesi e analisi per segnale aperiodico:+∞ −j2πf tR– X(f ) = x(t)e dt (Trasformata di Fourier)−∞+∞ j2πf tR– x(t) = X(f )e df (Trasformata di Fourier Inversa)−∞ jθ(f )– X(f ) = A(f )e (A(f) è lo spettro di ampiezza, θ(f ) è lo spettro di fase)
• Funzione rect aperiodica: y(t) = lim x(t) = rect(t)−>+∞T 0
• ·1 Tfunzione sinc aperiodica: T sinc(f T ) = πf T

Proprietà della trasformata di Fourier

• Proprietà trasformata di Fourier: ↔– Linearità: x(t) = ax (t) + bx (t) X(f ) = aX (f ) + bX (f )1 2 1 2
• −j2πf t− ↔– Ritardo: x(t τ ) X(f )e −
• fX(f ) + X(f +f )↔ 0 0– Modulazione: x(t)cos(2πf t)0 2f1
• ↔– Cambiamento di scala: x(at) X( )|α| α ∗∈ →– Simmetria Hermitiana per segnali reali: se x(t) R X(f ) = X (−f )2

3° Lecture

• Rappresentazione sistema: y(t) = T [x(α); t]

Proprietà sistemi lineari tempo-invarianti

• Proprietà Sistemi Lineari Tempo-Invarianti:→ →– Linearità: x(t) = αx (t) + βx (t) y(t) = T [x(t)] = αT [x (t)] + βT [x (t)]1 2 1 2y(t) = αy (t) + βy (t)1 2 1
• − → − −– Tempo Invarianza: x(t t ) T [x(t t )] = y(t t )0 0 0
• Y (f )• → ·Y (f ) = H(f ) X(f )Risposta in frequenza: H(f ) = X(f )
• |H(f |H(fScala Logaritmica per risposta in frequenza di un filtro: )| = 20log )|dB 10
• Istanti di tempo ottenuti campionando il segnale: t = nT s
• +∞ +∞• −j2πf 1 KTP P→X(f ) = x[n]e X(f ) = X(f + )Trasformata di Fourier: n sn=−∞ k=−∞T Ts s(la seconda trasformata genera repliche periodiche del segnale ogni f )s
• ≥