Warm up - esercizi svolti analisi matematica 2

Durante la prova i cellulari devono essere spenti - chi viola questa regola sarà allontanato dall'aula immediatamente

Fond. Analisi Mat. 2, DICEA

Prof. N. Garofalo

Warmup - Prova in itinere n. 1, 30 novembre, 2018

Problema 1

Un parallelepipedo _P in R³ con gli spigoli paralleli agli assi coordinati ha un vertice in (0;0;0) e quello diametralmente opposto sul paraboloide ellittico S = {(x; y; z) ∈ R³} z = 4 - x²/₂₅ - y²/₁₆ è nel primo ottante. Il volume massimo di _P è dato da: ..............

1. È consentito l’uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Durante la prova i cellulari devono essere spenti - chi viola questa regola sarà allontanato dall'aula immediatamente

Fond. Analisi Mat. 2, DICEA

Prof. N. Garofalo

Warmup - Prova in itinere n. 1, 30 novembre, 2018

Cognome & Nome (in stampatello) ................................................

Matricola n. ........................................................................

Problema 1

Un parallelepipedo ℘ in R³ con gli spigoli paralleli agli assi coordinati ha un vertice in (0,0,0) e quello diametralmente opposto sul paraboloide ellittico S = {(x, y, z) ∈ R³ | z = 4 - x²/₂₅ - y²/₁₆} e nel primo ottante. Il volume massimo di ℘ è dato da: .............

1. È consentito l’uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Problema 2

Sia f : R² → R definita da f(x, y) = (y - 2x)e^-x2-y2.

Determinare tutti i punti critici di f.

(b) Sia f : R² → R la funzione f(x,y) = { x^y3/_2x²+5y²)^5/3   (x, y) ≠ (0, 0), 0       (x, y) = (0, 0).

Quale delle seguenti affermazioni è vera:

1. _{(x,y→)(0,0)} f_xy(x, y) = 0
2. _{(x,y→)(0,0)} f(x, y) = 1
3. < ∇f(x, y), (x, y) > ≥ 3f(x, y) in ogni punto (x, y) ∈ R²
4. f_xy è omogenea di grado κ = 3
5. < ∇f(x, y), (x, y) > ≥ 5f(x, y) in ogni punto (x, y) ∈ R²

fx = 5/3 xy3/2x2+5y23/5 (10xy5)/(2x2+5y2)4

Problema 4

a) Si consideri il campo di forze Φ(x) = |x|²e^-|x|4x,     x ∈ ℜⁿ, e la curva γ(t) = (1 - t², 0, ..., 0, t²), 0 ≤ t ≤ 1. Il lavoro W_Φ è dato da:

∫ x²e^-x4 = ¼∫4xe^-x4 dx = ¼e^-x4

x = t = 0 → y(0) = 1

t = 1 → y(1) = 1

¼[e^-x4] = ¼[e^-1-e^-1] = 0

b) L'iperpiano tangente in (0,-1,0,0) alla ipersuperficie w² = -(x+1)²-y²-3z² in ℜ⁴ è:

f(x₀,y₀,z₀) = -1+1-0

f_x = -2(x-2)

f_y = -2y

f_z = -6z

f_x(x₀,y₀,z₀) = -2

f_y(x₀,y₀,z₀) = 2

f_z(x₀,y₀,z₀) = 0

ω² - 0 = -2(x-0) + 2(y-(-1)) + 0(z-0) = -2x + 2(y+1) = -2x + 2y + 2

ω = √-2x+2y+2