Verifica dei limitiVerifica dei limiti
Utilizzando la definizione, verifichiamo. Scelto ε > 0, dobbiamo verificare che esiste un intorno di ∞ per ogni x del quale si ha: |x/x - 1 - 1| < ε.
Risolviamo la disequazione, con x ≠ 1: |x/x - 1 - 1| < ε = |x - x + 1/x - 1| < ε = |1/x - 1| < ε = |x - 1| > 1/ε - x - 1 < -1/ε ∨ x - 1 > 1/ε → - x < 1 - 1/ε ∨ x > 1 + 1/ε.
La disequazione è vera per ogni x dell’intorno ] -∞; 1 - 1/ε [ ∪ ] + 1/ε + ∞ [ di ∞, quindi il limite è verificato.
Verifichiamo i limiti
- a) limx→+∞ (x3 + 2) = +∞;
- b) limx→−∞ 1 + 2x2⁄x = −∞;
- c) limx→±∞ (x2 + 1) = +∞.
a) Dobbiamo verificare che, scelto M > 0, esiste un intorno di +∞ per ogni x del quale si ha x3 + 2 > M. Risolviamo la disequazione:
x3 + 2 > M ⇒ x3 > M − 2 ⇒ x > 3√M − 2.
L’insieme delle soluzioni è l’intorno di +∞, [3√M − 2; +∞[, quindi il limite è verificato.
b) Scelto M > 0, dobbiamo determinare un intorno di −∞ per ogni x del quale si abbia 1 + 2x2⁄x < −M.
Risolviamo la disequazione: 1 + 2x2⁄x < −M ⇒ 1 + 2x2 + Mx < 0.
Poiché x → −∞, supponiamo x < 0; quindi, per verificare la disequazione, basta che sia positivo il numeratore: 2x2 + Mx + 1 > 0.
Nell’equazione associata, poiché M è scelto arbitrariamente grande, supponiamo M2 > 8 e quindi M2 − 8 > 0. Si ottiene quindi: x < −M − √(M2 − 8)⁄4 o x > −M + √(M2 − 8)⁄4.
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![Esercizi verifica limiti]()
Esercizi verifica limiti
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![Verifica del limite applicando la definizione. Caso limite finito]()
Verifica del limite applicando la definizione. Caso limite finito
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Verifica del limite applicando la definizione. Caso limite infinito positivo
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Limiti e continuità, verifica su funzioni definite a tratti, grafico probabile, ricerca degli asintoti
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