Velocità urti frontali

Velocità urti frontali: urto

Le due masse di destra di figura sono liberamente distanziate ed inizialmente in quiete; la massa di sinistra si dirige verso di esse con velocità v₀. Supponendo gli urti frontali:

• A) Se M < m dimostrare che vi sono esattamente due urti e calcolare tutte le velocità finali.
• B) Se M > m dimostrare che vi sono tre urti e calcolare tutte le velocità finali.

Urto elastico tra le due masse di destra

Nell'urto elastico tra le due masse di destra, si ha conservazione dell'energia e della quantità di moto; sia v₀ la velocità prima dell'urto della massa più a sinistra e sia nulla la velocità dell'urto della massa di centro. Siano v e u le velocità, dopo l'urto, rispettivamente delle due masse. Si ha

m v₀ = m v + m u

1/2 m v₀² = 1/2 m v² + 1/2 m u²

da cui

v₀ = v + u

v₀² = v² + u²

o anche

v₀ - v = u

v₀² - v² = u²

e dividendo membro a membro la seconda equazione per la prima si ha:

v₀ + v = u

da cui v₀ = u e v = 0.

Cioè la massa più a sinistra, dopo l'urto, è ferma, mentre la massa centrale si muove con velocità v verso destra. La massa centrale urta quindi elasticamente contro la massa più a destra: si ha

m u = m W₁ + m W₂

1/2 m u² = 1/2 m W₁² + 1/2 m W₂²

dove v = v₀ è la velocità della massa centrale prima dell'urto e W₁ dopo l'urto;

W₂ è la velocità dopo l'urto della massa, inizialmente in quiete, più a destra.

Si ha, procedendo come già visto più volte

W₁ = ((m - M)/(m + M)) v₀

W₂ = (2m/(m + M)) v₀

Caso a: M < m

A) Se m >= M ne deriva che la velocità W₁ della massa centrale è: W₁ >= 0, cioè essa continua a muoversi verso destra con velocità W₁ = ((m - M)/(m + M)) v₀ mentre la massa a destra si muove verso destra con velocità: W₂ = (2m/(m + M)) v₀ > v₀; cioè gli urti in questo caso sono solo due e alla fine la situazione è tale che:

• La massa più a sinistra sta ferma.
• La massa centrale si muove con velocità W₁ verso destra.
• La massa più a destra si muove con velocità W₂ verso destra.