Trovare le coordinate cartesiane dell'ortocentro di un triangolo

Problemi di geometria analitica

Problemi di geometria analitica

Punti notevoli di un triangolo

Ortocentro

Incentro

Circocentro

Baricentro

Traccia

Determinare l’ortocentro del triangolo ABC, note le coordinate dei vertici: A = (1,2) B = (3,2) C = (5,4)

Svolgimento

Dobbiamo trovare 2 altezze e le rette su cui giacciono e che si intersecano nel punto voluto.

Riposiamo i 3 punti in un piano cartesiano e disegniamo il triangolo ABC.

Osserviamo subito che l’angolo è ottuso in B. Infatti l’angolo ABC è maggiore di 90°.

Questo significa che l’ortocentro è esterno al triangolo ABC.

Velocità relativa

Consideriamo _l'iperbole _fella retta AB del vertice _E.

Essendo AB un segmento orizzontale con equazione alla retta di equazione y = 2, i vettori ortogonali della retta passano per A e B e mAB è nulla.

Vediamo m_AB = (y_A - y_B) / (x_A - x_B) = (2 - 2) / (-1 - 3) = 0.

Lo perpendicolare ad AB è dunque una retta verticale passante per E e di equazione x = x_c. x = 5 e l'altezza CH è 2.

Consideriamo ora il retto AC e il velocità relativa ad essa BK.

La retta che unisce AC ha per coefficiente angolare: m_AC = (y_A - y_C) / (x_A - x_C) = (2 - 6) / (-1 - 5).

m_AC = (-2) / (-3) ⟹ m_AC = -1/3.

L'altezza BK è nella retta ⟂ ad AC, quindi il coefficiente angolare è il m_reciproco: m_BK = -1/m_AC.

m_BK = -3.

Scriviamo l'equazione della retta cui appartiene BK:

Consideriamo l'equazione del fascio di centro B(5;2)

y - y₀ = m(x - x₀)

y - 2 = m(x - 5)

E tra le infinite rette ottenibili col fascio imponiamo m = -3 e ricaviamo l'equazione della retta per B e K.

y - 2 = -3(x - 5)

y - 2 = -3x + 9

y = -3x + 9 + 2

y = -3x + 11

Intersechiamo ora le 2 rette:

x = 5

y = -3x + 11

x = 5

y = -3(5) + 11

x = 5

y = -15 + 11

x = 5

y = -4

Le coordinate dell'ortocentro sono O = (5; -4)