Tre sfere in equilibrio

Tre sfere in equilibrio

Statica

Tre sfere in equilibrio

Tre sfere uguali, ciascuna di massa M e raggio R, si trovano in equilibrio all’interno di un recipiente di sezione rettangolare, disposte come in Figura 8.2; tutte le superfici sono prive d’attrito. Sapendo che il triangolo isoscele formato dai centri delle tre sfere ha l’angolo al vertice ₂ = 20 e che la sua base C₁ C₃ è verticale, determinare le forze esercitate dalle pareti del recipiente su ciascuna delle sfere e le forze di contatto nei punti in cui esse sono tra loro tangenti.

Esaminiamo separatamente le forze che agiscono su ciascuna sfera costruendo i cosiddetti diagrammi di corpo libero (Figure: 8.2.a; 8.2.b; 8.2.c). Per comodità, le singole forze vengono applicate nei rispettivi centri di gravità delle sfere.

Sfera con centro C₁

Dopo aver indicato con N₀ la forza esercitata dal fondo del recipiente sulla prima sfera, con N₁ quella esercitata su di essa dalla parete di sinistra, con F_2,1 la forza che la seconda sfera esercita sulla prima nel punto di tangenza ed ovviamente con Mg il peso della sfera stessa, la Figura 8.2.a ci aiuta a scrivere le seguenti equazioni scalari dell’equilibrio:

N₀ – F_2,1 senθ – Mg = 0

N₁ – F_2,1 cosθ = 0

Sfera con centro C₂

Indicata con N₂ la forza esercitata dalla parete di destra sulla seconda sfera, con F_1,2 quella esercitata su di essa dalla prima sfera, con F_3,2 quella esercitata dalla terza sfera e con M il peso, utilizzando la Figura 8.2.b deduciamo le equazioni scalari:

F_1,2 senθ – F_3,2 senθ – M g = 0

F_3,2 cosθ + F_1,2 cosθ – N₂ = 0

Sfera con centro C₃

Detta N₃ la forza esercitata dalla parete sinistra sulla terza sfera, F_2,3 quella che la seconda sfera esercita sulla terza e con M g il peso di quest’ultima, la Figura 8.2.c ci permette di scrivere le equazioni:

F_2,3 senθ – M g = 0

N₃ – F_2,3 cosθ = 0