Trasmisione numeria - Esercizi

Prova scritta di trasmissione numerica del 26 settembre 2005

Tempo: 2 ore e 30 minuti. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Si consideri la seguente segnalazione quaternaria in rumore additivo gaussiano bianco (AWGN) con densità spettrale di potenza N₀/2 nell’intervallo di segnalazione [0, T]:

s₀(t) = A sin(2πt/T)   0 < t < T

s₁(t) = 2A sin(2πt/T)   0 < t < T

s₂(t) = −A sin(2πt/T)   0 < t < T

s₃(t) = −2A sin(2πt/T)   0 < t < T

1. Disegnare i segnali s₀(t), s₁(t), s₂(t) ed s₃(t);
2. Determinare la dimensionalità dello spazio dei segnali e giustificare il risultato;
3. Determinare una base ortonormale per lo spazio dei segnali;
4. Determinare e disegnare la costellazione dei segnali;
5. Determinare e disegnare le regioni di decisione nel caso di segnali equiprobabili;
6. Determinare la struttura del ricevitore ottimo in AWGN per segnali equiprobabili realizzato mediante filtri adattati (determinare l’espressione analitica della funzione di risposta impulsiva dei filtri adattati e disegnarne l’andamento);
7. Determinare l’espressione della probabilità di errore del ricevitore ottimo nel caso di segnali equiprobabili;
8. Determinare la struttura del ricevitore ottimo e l’espressione della probabilità di errore nel caso in cui le probabilità a priori dei segnali sono P(s₀) = 1/3, P(s₁) = 1/3, P(s₂) = 1/6, P(s₃) = 1/6.

Esercizio 2

Sia X(t) un processo aleatorio gaussiano reale, con media nulla, funzione di autocorrelazione statistica R_x(τ) = 2Bsinc(2Bτ). Si consideri il segnale Y(t) = X(t)cos(2πf₀t) + |X(t)⊛h(t)|sin(2πf₀t) dove h(t) = e^−Btu(t), u(t) è il gradino unitario e f₀ ≫ B, B > 0.

1. Determinare media, funzione di autocorrelazione statistica e funzione di autocorrelazione media del processo Y(t);
2. Caratterizzare statisticamente il segnale Y(t) nel modo più completo possibile;
3. Determinare le proprietà di stazionarietà (o non stazionarietà) di Y(t);
4. Determinare lo spettro di potenza di Y(t).