Terza esercitazione di Statistica

Esercitazione 28-05-14

Esercizio 1: Test sull'indipendenza statistica

La tabella riporta la distribuzione di un campione casuale di aziende di uno stesso settore secondo il consumo di energia (in HLV) e fatturato mensile (in migliaia di euro).

Dopo aver specificato le ipotesi da sottoporre a verifica, si decide al livello di significatività α dell'1% se l'ipotesi nulla è da rifiutare o meno.

Ho: p_ij = p_i x p_j P ^? J ^? = margine di colonne

Si ha una situazione di indipendenza quanto tutte le frequenze osservate sono uguali alle frequenze attese.

Tabella delle frequenze teoriche

Le frequenze teoriche devono essere sempre > 5.

Esercizio 2

Nel paese Alfa ci sono 4 internet provider A, B, C, D. Fino all'anno scorso A risultava leader di mercato con una quota pari al 40%, mentre i concorrenti si suddividevano agevolmente le quote rimanenti. Da un campione casuale di 120 consumatori risulta che 43 sono clienti di A, 32 di B, 15 di C, mentre i rimanenti hanno scelto il provider D.

1. Sulla base del campione possiamo intendere che le quote di mercato siano le stesse dell'anno scorso? (α = 0.05).

Ho: quote di mercato uguali

H₁: diverse

Totale: 120

χ²_c = chi quadro campione

χ²_{0.05; 3} = 7.815

2. Si calcoli il p-value del test. Se α fosse stato pari a 0.1 la decisione sarebbe cambiata?

Gradi di libertà = 3

p-value = statistica test = 8.065

Si mostra 7.815 < 9.348 = fissando un'area media tra i due valori, ie p-value minore di α P-VALUE ≤ α = Rifiuto H₀

Esercizio 3: Test sulla bontà di adattamento

Il cuoco dell'Hotel Panorama inventa quasi ogni giorno nuove ricette. Secondo lo chef X, il numero di nuove ricette in un giorno può assumere valore zero, uno o due con probabilità di 1/2, 1/4, 1/4 rispettivamente. Per verificare queste affermazioni alcuni ospiti hanno contato il numero di nuove ricette in un campionamento casuale di giorni, ottenendo i seguenti risultati 0, 0, 1, 2, 3, 2, 2, 0, 0, 0.

1. Specificare le ipotesi da sottoporre a verifica. Le probabilità sono uguali a quelle specificate.

H₁: "non sono uguali"

Accorpamento per regole

- x² di quadro campione

Valore critico - X_0,05² = 3.841

(^r-1⁄_c-1)((r-1)(c-1))2 - 1 · 2 - 11 · 1 = 1

Non rifiuto H₀ le probabilità sono quelle specificate

Esercizio 4: Test sulla bontà di adattamento

Un dispositivo di sicurezza utilizzato nelle catene di produzione di una certa fabbrica, scatta in media 0,18 volte al giorno arrestando la catena. Dalle rilevazioni effettuate settimanalmente (5 giorni lavorativi), per 32 settimane, sono stati raccolti i seguenti dati:

Numero arresti settimanali: 0 1 2 3 >3

Frequenza: 10 12 6 3 1

Si verifichi in base ai dati rilevati, se si possa affermare che la distribuzione del numero di arresti settimanali segue una distribuzione di Poisson.

H₀: f(x) = P₀(λ)

H₁: f(x) ≠ P₀(λ)

P(x = x) = (λ^x e^-λ)/x!

P(x = 0) = (0.9⁰ e^-0.9)/0! = 0.407

P(x > 3) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x ≤ 2) + P(x > 3)] = 0.013

1.7397 < X² - chi-quadro campione

chi-quadro critico: X²_0.05,2 = 5.991

Non rifiuto H₀: nella popolazione i dati seguono una distribuzione di Poisson.

Esercizio 6: Test sulla bontà di adattamento

La lunghezza di 150 barrette di metallo simile sono state raggruppate nella seguente tabella:

In base a questi dati si può affermare che la loro distribuzione è una normale ad un livello di significatività del 5%?

x̄ = 29.42

S = 1.42

S = 0.978

H_o: g(x) = N(μ,δ²)

H₁: g(x) ≠ N(μ,δ²)

Tabella delle frequenze teoriche

classi: Z_i F_i P(x<z) F_i-1)(F_i-F_i-1) Eivalore di z corrispondente dell'estremo superiore delle classi.