Terza esercitazione di microeconomia

X1 esercitazione

Esercizio 1

In un piccolo paese di montagna sono presenti solo due panettieri, Mario e Luigi, i quali producono lo stesso tipo di pane. Mario ha una funzione di costo data da CT₁=4q₁ mentre quella di Luigi è pari a CT₂=6q₂. La funzione di domanda di mercato è data da P=60-Q. Calcolare:

1. Quantità, prezzo di equilibrio e il profitto realizzato dai due panettieri nel caso in cui essi competano alla Cournot.

π₁=[60-(q₁+q₂)]q₁-4q₁==60q₁-q₁q₂-q₁²-4q₁==56q₁-q₁q₂-q₁²

∂π₁^'/∂q₁=0=56-q₂-2q₁=0

2q₁=56-q₂

q₁=28-1/2q₂

{q₁=28-1/2q₂ q₂=27-1/2q₁

q₁=28-1/2(27-1/2q₁)

q₁=28-27/2+1/4q₁

q₁-1/4q₁=28-27/2

q₁=27+1/2q₁

q₁=27+1/4(58)_{

q₁=58/3

q₂=27-1/2q₁

q₂=27-1/2x q₁

q₂=27-1/2(58/3)_{

q₁=58/3

q₂=58/3

q₁=58/3

q₂=27-1/2x _u

Q=q₁+q₂=58/3+52/3=110/3

P=60-110/3=70/3

π₁=P_aq₁-TC₁==70/3 (58/3)-4(58/3)=60.0/4=232/3=336/3=373.7

π₂=P_aq₂-TC₂==70/3 (52/3)-6(52/3)=60=812/3=3640/9=300.5

XI esercitazione

04/06/14

Esercizio 1

In un piccolo paese di montagna sono presenti solo due panettieri, Mario e Luigi, i quali producono lo stesso tipo di pane. Mario ha una funzione di costo data da CT₁=4q₁ mentre quella di Luigi è pari a CT₂=6q₂. La funzione di domanda di mercato è data da P=60-Q. Calcolare:

1. Quantità, prezzo di equilibrio e il profitto realizzato dai due panettieri nel caso in cui essi competano alla Cournot.

Impresa 1 π₁=[60-(q₁+q₂)]q₁ - 4q₁ = 60q₁ - q₁² - q₁q₂ - 4q₁ = 56q₁ - q₁² - q₁q₂

∂π₁/∂q₁ = 0 ➔ 56 - 2q₁ - q₂ = 0

2q₁ = 56 - q₂

q₁ = 28 - ½q₂

Funzione di reazione dell'impresa 1 { q₁ = 28 - ½q₂ |

Impresa 2 π₂ = [60 - (q₁ + q₂)]q₂ - 6q₂ = 60q₂ - q₁q₂ - q₂² - 6q₂ = 54q₂ - q₁q₂ - q₂²

∂π₂/∂q₂ = 0 ➔ 54 - q₁ - 2q₂ = 0

2q₂ = 54 - q₁

q₂ = 27 - ½q₁

Funzione di reazione dell'impresa 2 { q₂ = 27 - ½q₁ |

(3/2)q₁ = 29 ➔ q₁ = 58/3

Q = q₁ + q₂ = 58/3 + 52/3 = 110/3

P = 60 - 110/3 = 70/3

π₁ = P · q₁ - TC₁ = (70/3)(58/3) - 4(58/3) = 232/3 - 336/9 = 373,7

π₂ = P · q₂ - TC₂ = (70/3)(52/3) - 6(52/3) = 364/9 - 312/3 = 300,5

2. Quantità, prezzo di equilibrio e il profitto realizzato dai due panettieri nel caso in cui essi competano alla Bertrand.
3. Supponiamo ora che Mario sia il Leader: si alza la mattina un'ora prima e conosce la quantità che verrà prodotta da Luigi sulla base della sua funzione di reazione. Calcolare la funzione di reazione di Luigi, nonché la quantità prodotta, il prezzo e il profitto dei due produttori.

π =60(q₁ + q₂)q₁ - q₁² = 60q₂ - q₁q₂ - q₂² = 5q₂ - q₁q₂ - q₂²

∂π₂/∂q₂ = 0 5q₁ - 2q₂ = 0 2q₂ = 5q₁ q₂ = (27 - q₁)/2

Funzione di reazione del follower

π = (60 - (q₁ + 27·(1/2)q₂))q₁ - 5q₁ - 33q₁(1/2)q₁ = 29q₁ - (q₁/2)²

∂π/∂q = 0 29 - q₁ = 0 q₁* = 29 → quantità del Leader

q₂* = 27/2(2q) (25/2) = quantità del Follower

Q = q₁* + q₂* 29 - 25/2 = 83/2

P = 60 - 83/2 = 32/2

π = 37/2 · 29 = 520.50 → profitto Leader

π = 37/2 25/2 = 6(25/2) = 156.25 → Follower

Esercizio 2

Cip e Ciop sono gli abitanti di un piccolo borgo di Paperopoli e dispongono di due soli beni, ghiande (G) e nocciole (N). Cip possiede 20 ghiande e 8 nocciole, mentre Ciop possiede 40 ghiande e 12 nocciole. La soddisfazione che i due abitanti, Cip e Ciop, raggiungono mediante il consumo dei due beni è data rispettivamente da:

U_Cip(G,N) = √G_Cip * √N_Cip e U_Ciop(G,N) = √G_Ciop * √N_Ciop

1. Rappresentare graficamente le possibilità di consumo dei due abitanti tramite la scatola di Edgeworth, e indicare chiaramente il punto di dotazione iniziale.
2. Definire analiticamente la curva dei contratti e rappresentarla graficamente.

_SMSA = ∂U/∂x_A / ∂U/∂y_A = y_A / x_A

_SMSB = ∂U/∂x_B / ∂U/∂y_B = y_B / x_B

{ SMS_A = SMS_B

{ x_A + x_B = X_tot = 60

{ y_A + y_B = Y_tot = 20

{ y_A / x_A = y_B / x_B

{ x_A + x_B = 60

{ y_A + y_B = 20

{ y_B = y_A * x_B / x_A

{ x_A + x_B = 60

{ y_A + y_B = 20

{ y_A * x_B = 20 * x_A

{ y_B = y_A * x_B / x_A

x_B = 60 - x_A

{ y_tot * x_A + (60 - y_A) * (60 - x_A) = 20 * x_A

{ x_A + y_B = y_tot - 20 * x_A

(60 - y_A) * (y_A - x_A) = 20 * x_A

60 * y_A = 20 * x_A

y_A = 1/3 * x_A

3. Stabilire se l’allocazione iniziale delle risorse è Pareto efficiente.
4. Stabilire se la seguente allocazione alternativa è Pareto efficiente (_GClp,NClp)=(24,8) (_{GCloρ,NCloρ})=(36,12).
5. Determinare il prezzo relativo di equilibrio.

Esercizio 3

Si consideri una economia di puro scambio in cui sono presenti due soli consumatori, Idelma e Bryan, che consumano gli unici due beni: carne (x) e pesce (y). Le funzioni di utilità dei due agenti sono rispettivamente: U_I = x_Iy_I e U_B = 2x_By_B

Le dotazioni iniziali per Idelma sono x_I=2 e y_I=3, mentre per Bryan x_B=4 e y_B=3.

1. Stabilire se l’allocazione iniziale è Pareto efficiente.

_A = 2 _AD 3

_B = 3 _BD 3 x_A + x_B = 6

y_A + y_B = 6

SHS_A = SHS_B

SHS_A dU/dx_A = SHS_B dU/dx_B

y_A = 2 y_{B A} = _B

2. Determinare il prezzo relativo di equilibrio e il paniere corrispondente, nell’ipotesi in cui i due individui intraprendano scambi volontari.

SHS_B = py_A/ x_A = p

Y_A = p X_A

p(Y_A + y_A) = x_B + y_A

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