Temi d'esame Sistemi Dinamici e Strategie d'impresa

Sistemi dinamici e strategie d'impresa - prof Bernuzzi

Sessione Estiva 2017 2° Appello

Riportare Nome, Cognome e N° matricola su ogni foglio consegnato.

È consentito l’uso della calcolatrice.

Giustificare le risposte in modo adeguato. Calcoli non leggibili e/o interpretabili non saranno considerati.

Non riportare soluzioni o calcoli sulla traccia (non saranno considerati).

Quesito 1 (15 marks)

Un rappresentante di commercio vive nella città “a” ed è responsabile anche per le città (b) e (c). Il tempo che spende in ciascuna città è descritto da una variabile casuale esponenziale con media che dipende dalla città, in particolare:

• μ_a = 2
• μ_b = 1
• μ_c = 1.5

Quando si trova in “a” per decidere dove dirigersi successivamente lancia una moneta, se ottiene testa va in “b”, mentre se ottiene croce va in “c”. Quando si trova in “b” o “c” per decidere dove dirigersi successivamente lancia due monete, se ottiene almeno una testa torna ad “a” mentre se non ottiene alcuna testa si dirige nell’altra città.

(a) Disegnare il diagramma di transizione e calcolare la matrice di transizione della “jump chain”

(b) Identificare se la jump chain è riducibile o irriducibile, ricorrente o transitoria giustificando la risposta.

(c) Usando il teorema calcolare la distribuzione limite π_i = lim_t→∞ P(X(t) = i | X(0) = j)

Soluzione 1

(a)

(b) La catena di Markov è irriducibile e ricorrente.

(c) Si calcolano π_a, π_b, π_c:

• π_a = 0.5
• π_b = 0.25
• π_c = 0.25

I valori λ sono il reciproco dei tempi di soggiorno medi:

• λ_a = 1/2
• λ_b = 1
• λ_c = 2/3

Quesito 2 (5 marks)

Si consideri la CTMC di cui al Quesito 1. Si schematizzi il grafico delle rates di transizione.

Soluzione 2

Quesito 3 (15 marks)

Un noleggio biciclette elettriche ha 10 bici e resta aperto per 12 ore. I clienti arrivano in media ogni 27 minuti (il processo degli arrivi è un processo di Poisson). Se tutte le biciclette sono occupate i clienti aspettano che una sia disponibile. Un noleggio dura in media 2 ore con una SD di 42 minuti.

(a) Calcolare il numero medio di biciclette non in utilizzo.

(b) Il gestore pensa che qualora riducesse le tariffe da € 8 a € 5.5 per noleggio la domanda aumenterebbe a 48 clienti/giorno. Giustificare, dal punto di vista economico, se vale la pena ridurre il prezzo.

(c) Dopo aver ricevuto un certo numero di reclami per il tempo di attesa troppo lungo il gestore decide di introdurre una penale per i noleggi che eccedono le due ore riducendo il tempo medio di noleggio a 1.5 ore e la SD a 30 minuti. Come cambia il tempo di attesa.

(d) Quale altra misura il gestore potrebbe prendere per ridurre ulteriormente il tempo di attesa?

Soluzione 3

(a) Per trovare il numero di biciclette non in utilizzo bisogna considerare l’utilizzazione dei servers (biciclette) u = p/m x a = 2/10 x 0.45 = 0.44. Con un’utilizzazione 0.44 la non utilizzazione è 0.56. Numero biciclette non utilizzate = 10 x 0.56 = 5.6

(b) 48 clienti nelle 12 ore = 0.25 ore interarrival time. u = 2/10 x 0.25 = 0.8; biciclette in uso 10 x 0.8 = 8. Incassi con tariffa iniziale = 4.4 x 12/2 x 8 = 211.2€ Incassi con tariffa ridotta = 8 x 12/2 x 5.5 = 264€. La nuova tariffa aumenta il fatturato per cui è conveniente adottarla.

(c) Tempo in attesa æ ö æ ö+2 2+ - CV CV2 (m-1) 1 æ ö tempo servizio utilizzazione ç ÷ ç ÷ a p = * * ç ÷ Tempo in coda ç ÷ ç ÷ -m 1 utilizzazione 2 è ø è ø è ø T (1) = 0.246 ore = 14.78 min q T (2) = 0.183 ore = 10.98 min q

(d) Aumentare il numero dei servers (biciclette)

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Sessione Estiva 2017 3° Appello

Riportare Nome, Cognome e N° matricola su ogni foglio consegnato.

È consentito l’uso della calcolatrice.

Giustificare le risposte in modo adeguato. Calcoli non leggibili e/o interpretabili non saranno considerati.

Non riportare soluzioni o calcoli sulla traccia (non saranno considerati).

Quesito 1 (18 marks)

Il processo di sviluppo di devices per consumer electronics della società XYZY funziona con le seguenti regole:

Quando si scopre una nuova tecnologia per essa viene richiesto un brevetto. I brevetti sono concessi per una durata di 12 anni. Una volta ottenuto il brevetto, il nuovo device viene sviluppato da uno dei tre centri di R&D della società e quindi lanciato sul mercato. Ogni nuovo device è sviluppato da un solo centro di R&D che a sua volta può sviluppare un solo device alla volta.

• In media la società deposita una richiesta di brevetto ogni 5 mesi, (con una deviazione standard di 5 mesi).
• Il tempo medio di sviluppo prima del lancio sul mercato è di 12 mesi (con deviazione standard 24 mesi).

Calcolare:

(a) L’utilizzazione dei tre centri R&D della società.

(b) Il tempo necessario, dal momento della concessione del brevetto, perchè un nuovo device cominci il suo processo di sviluppo.

(c) Quanti anni di copertura brevettuale rimangono, in media, dopo il lancio.

(d) Quanti nuovi device, in media, sono in corso di sviluppo ed in attesa di sviluppo (somma delle due).

(e) Di quanto si riduce il time-to-market (dalla concessione del brevetto al lancio) se la società introduce un quarto centro R&D.

(f) Dopo che un device è stato lanciato, esso genera un profitto di € 40 milioni per anno di copertura brevettuale residua. Dopo la scadenza del brevetto esso non genera alcun profitto. Calcolare il profitto addizionale che genera l’introduzione del quarto centro di R&D. (Assumere che i costi di gestione del nuovo centro siano già stati incorporati nel calcolo del profitto).

Soluzione 1

(a) Utilizzazione = 12/(5*3) = 0.8

(b) Inter-arrival time per una nuova tecnologia = a = 5 mesi. CV_a=1, Activity Time =p = 12 Mesi. CV_p=2, # servers =3. CODA M/G/3 T_q= 33.25 mesi

(c) Copertura brevettuale totale = 12 anni = 144 mesi; Tempo speso nel sistema = 45.25 mesi; Copertura brevettuale rimanente = 98.75 mesi

(d) Legge di Little: Flow Rate = 1/5 brevetti/mese, Tempo nel sistema = 45.25 mesi; 9.05 device.

(e) p = 12; a = 5; m = 4; CV = 1; CV = 2 Coda M/G/4^u = 12/(5*4) = 0.6 m = 4, u = 0.6, T_q = 6.21 mesi, Tempo nel sistema = 18.21 mesi, Riduzione 27 mesi

(f) Il centro R&D addizionale riduce il time-to-market di 27 mesi. La flow rate di nuovi device nel mercato è 0.2 device/mese. Applicando la legge di Little si calcola che l’inventory di device nel mercato è aumentato di 0.2*27 = 5.4 device. Su base annua ciò genera un aumento delle revenues di € 216 milioni

Quesito 2 (12 marks)

Si consideri una catena Markov con tre stati S = {1, 2, 3} ed il seguente diagramma di transizione:

• P(1 → 2) = 1/2
• P(1 → 3) = 1/4
• P(2 → 1) = 3/4
• P(2 → 3) = 1/4
• P(3 → 1) = 1/2
• P(3 → 2) = 1/2

Supponendo che P(X =1) = 1/2 e che P(X = 2) = 1/4

(a) Trovare la matrice di transizione

(b) Calcolare P (X₁ =3; X₂ = 2; X₃ = 1)

(c) Calcolare P(X₁ =3; X₃ =1)

Soluzione 2

(a) La matrice di transizione è :

(b) Si calcola P(X₁ = 3):

P(X₁ =3) = 1 – P(X₁ = 1) – P(X₁ = 2) = 1 – 1/2 – 1/4 = 1/4

P (X₁ =3; X₂ = 2; X₃ = 1) = P(X₁ = 3) * p₃₂ * p₂₁ = 1/4 * 1/4 * 1/2 = 1/32

(c) Si può scrivere:

P(X₁ = 3, X₃ = 1) = P(X₁ = 3) ∗ [p₃₁ + p₃₂ ∗ p₂₁]

P(X₁ = 3, X₃ = 1) = 1/4 ∗ 1/2 [1/2 + 1/4 ∗ 1/2] = 1/16

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Sessione Straordinaria (a.a. 2016-2017)

Riportare Nome, Cognome e N° matricola su ogni foglio consegnato.

È consentito l’uso della calcolatrice.

Giustificare le risposte in modo adeguato. Calcoli non leggibili e/o interpretabili non saranno considerati.

Non riportare soluzioni o calcoli sulla traccia (non saranno considerati).

Quesito 1 (10 marks)

Un ufficio ha un solo sportello aperto al pubblico. Nelle ore di punta i clienti arrivano secondo un processo di Poisson ad una rate di 38 per ora. Ogni cliente spende in media 90 secondi allo sportello con una deviazione standard di 120 secondi.

(a) Calcolare il tempo di attesa medio.

A fronte della insoddisfazione dei clienti il direttore dell’ufficio decide di aggiungere un secondo sportello per metà del tempo di apertura dell’ufficio. Assumendo che il processo degli arrivi rimanga invariato,

(b) Calcolare il tempo di attesa medio nella nuova configurazione

(c) Nella nuova configurazione quale sarà il numero medio di clienti in attesa? Ed il numero medio di clienti agli sportelli?

Soluzione 1

(a) m=1; tempo servizio medio p = 1.50 min; inter-arrival time medio: a = 60/38 = 1.58 min. Utilizzazione = p/(a*m) = 0.949; CV_a = 1; CV_p = 1.33. T_q = 40.7 minuti

(b) m=1.5; tempo servizio medio p = 1.5 min; inter-arrival time medio a = 60/38 = 1.58 min. Utilizzazione = p/(a*m) = 0.63; CV_a = 1; CV_p = 1.33

T_q = 2.19 minuti

(c) I = m*u = 0.94; I_q = T_q/a = 1.38; I_p/I_q = 0.94/1.38 = 0.65

Quesito 2 (15 marks)

Si consideri una catena di Markov con tre possibili stati con la seguente matrice delle probabilità di transizione

Soluzione 2

(a) 1/4 1/2 1/2

(b) 1/2 1/4 1/4

(c) 2!(0 = 3|0 = 2) = 1/3

1!(0 = 1|0 = 1) = 3/8

Quesito 3 (6 marks)

(a) Descrivere le discipline di servizio per una fila d’attesa

(b) Quale è la disciplina di servizio che minimizza il tempo di attesa medio in una fila d’attesa. Argomentare perchè tale disciplina è di difficile applicabilità pratica.

(c) Fra le discipline che non dipendono dal tempo di servizio quale è la più efficiente

(d) Cosa è la notazione di Kendall? Spiegare il significato dei singoli elementi della notazione e fare un esempio pratico.

Soluzione 3

(a) FIFO, LIFO, SIRO, SPT, PT

(b) SPT. Perchè difficilmente i tempi di servizio sono noti a priori.

(c) FIFO

(d) A/B/m/N/S = distribuzione di probabilità degli interarrival time; B = distribuzione di probabilità dei tempi di servizio; m = numero dei servers; N = dimensione massima della fila d’attesa (se N = ∞, si omette); S = disciplina del servizio (se la disciplina è FIFO si omette)

Notazione per le distribuzioni di probabilità M (Markov) denota una distribuzione esponenziale; D (Deterministica); G (General) denota una distribuzione generale non meglio specificate di cui sono note media e varianza; Ek (Erlang) La distribuzione di Erlang si applica ai tempi di servizio ed è un caso intermedio fra la distribuzione deterministica (SD= 0) e la distribuzione esponenziale (SD = 1/λ)

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Sessione Autunnale 2018

Riportare Nome, Cognome e N° matricola su ogni foglio consegnato. Eventuali fogli anonimi non saranno considerati.

È consentito l’uso della calcolatrice programmabile.

Calcoli non leggibili e/o interpretabili non saranno considerati.

Non riportare soluzioni o calcoli sulla traccia (non saranno considerati).

Quesito 1 (10 marks)

Un addetto al call center di una società di telefonia mobile ha l’incarico di chiamare i potenziali clienti per illustrare le nuove offerte. Le chiamate possono essere con risposta (quando il cliente risponde) o senza risposta (quando il cliente non risponde). In media, dopo una chiamata senza risposta, 1 chiamata su 4 è ancora senza risposta mentre dopo una chiamata con risposta 3 chiamate su 4 sono con risposta.

(a) Sia lo stato della n-esima chiamata. Giustificare che il processo può essere rappresentato da una catena di Markov con spazio degli stati S = (NR, R) e calcolare la matrice di transizione

(b) Calcolare la distribuzione di stato stazionario

Soluzioni

(a) La transizione dallo stato corrente al successivo dipende solamente dallo stato corrente della catena, che pertanto possiede la proprietà markoviana ed è una catena di Markov

(b) La distribuzione di stato stazionario è la soluzione dell’equazione sotto:

• π_NR + π_R = 1
• π_NR = π_NR ∗ 1/4 + π_R ∗ 1/4
• π_R = π_NR ∗ 3/4 + π_R ∗ 3/4

Eliminando una delle prime due equazioni (che è ridondante) si ottiene:

• π_NR = 1/2
• π_R = 1/2

Quesito 2 (10 marks)

Si consideri un cammino casuale con spazio degli stati S={0,1,2,3} e la seguente matrice di transizione

(a) Disegnare il diagramma di transizione

(b) Calcolare il tempo medio (tempo atteso) per raggiungere lo stato 3 partendo dagli stati k = 0, 1, 2, 3

Soluzioni

(a) Il diagramma di transizione è:

• 0 → 0.5 → 2
• 1 → 0.5 → 3
• 2 → 0.5 → 1
• 3 → 1.0 → 2

(b) Il tempo atteso (medio) per raggiungere lo stato 3 partendo dagli stati k = 0, 1, 2, 3 soddisfa le seguenti equazioni:

• τ₀ = 1 + 0.5τ₂
• τ₁ = 1 + 0.5τ₃
• τ₂ = 1 + 0.5τ₁
• τ₃ = 0

Risolvendo il sistema si ottiene:

• τ₀ = 8
• τ₁ = 12
• τ₂ = 14
• τ₃ = 0

Quesito 3 (10 marks)

Si consideri la catena di Markov con la seguente matrice di transizione:

(a) Disegnare il diagramma di transizione

(b) Trovare il periodo degli stati (0), (1), (2), (3). Giustificare la risposta

(c) Classificare gli stati in assorbenti, ricorrenti e transitori

(d) Dire se la catena è riducibile/irriducibile giustificando la risposta

Soluzioni

(a) Il diagramma di transizione è:

• 0 → 0.25 → 1
• 0 → 0.25 → 2
• 0 → 0.25 → 3
• 0 → 0.25 → 4
• 1 → 1 → 0
• 2 → 1 → 0
• 3 → 1 → 0
• 4 → 1 → 0

(b) Il periodo di uno stato è definito come il MCD (Massimo Comun Divisore) delle lunghezze dei cicli che ritornano in quello stato. In questo caso:

• Stato 0: periodo 1
• Stato 1: periodo 1
• Stato 2: periodo 1
• Stato 3: periodo 1
• Stato 4: periodo 1

(c) Gli stati 1, 2, 3, 4 sono assorbenti. Lo stato 0 è transitorio.

(d) La catena è riducibile poiché ci sono stati assorbenti.