Tecnica delle costruzioni -esercitazione 4

Esercitazioni tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2012/2013

Eleonora Magnotta

Professore Diego Allaix

Corso di tecnica delle costruzioni

Giovedì 21 marzo 2013

Definizione di probabilità assiomatica

Lezione: Allora, riprendiamo dalla lezione dell'altra volta, diciamo una definizione di probabilità assiomatica.

Dato uno spazio campione Ω, vado a definire un evento:

A

A̅: evento complementare di A.

Andiamo a definire la probabilità assiomatica:

"Dato un evento A è possibile definire la probabilità dell'evento A come un numero: A -> P(A): 0,36"

Per come abbiamo definito la probabilità definisce una funzione.

Questa definisce tre assiomi:

• P(A) >= 0
• P(Ω) = 1
• Se considero una sequenza di eventi: A₁, A₂, ..., A_n che sono mutuamente escludenti, la probabilità dell'unione di questi eventi è data dalla somma dei singoli eventi

P(∪_i=1ⁿ A_i) = ∑_i=1ⁿ P(A_i)

Conseguenze della probabilità assiomatica

Vediamo una serie di conseguenze:

• La probabilità del complementare è data da:

1 - P(A̅) = 1 - P(A)

Essendo nota P(A). Possiamo scrivere che Ω = A ∪ A̅ (relazione rappresentata nell'immagine sopra).

Utilizzando il terzo assioma scriverò che:

P(Ω) = P(A) + P(A̅)

Dove:

P(Ω) per il secondo assioma:

1 = P(A) + P(A̅)

A questo punto ricavo che:

P(A̅) = 1 - P(A)

Dati tre assiomi è possibile ricavare le cose, dato un evento.

Vediamo la seconda conseguenza:

2) P(∅) = 0

Insieme vuoto.

Vediamo la terza conseguenza:

3) Se noi abbiamo che A ⊂ B allora:

P(A) ≤ P(B)

Graficamente A ⊂ B significa avere una relazione di questo tipo:

Se si verifica A automaticamente si verifica B. Posso scrivere:

B = A ∪ (A̅ ∩ B)

Due insiemi mutuamente escludentesi.

P(B) = P(A) + P(A̅ ∩ B)

(In virtù del terzo assioma)

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A̅: è quello che non sta nell'insieme A, ma cioè quello che sta in B.

P(A̅ ∩ B) per il primo assioma è ≥ 0, di conseguenza ho che:

P(A) ≤ P(B)

Ossè quello che volevo dimostrare.

Calcolo della probabilità di intersezione

Vediamo qualcosa di utile per i calcoli (4^a conseguenza):

Calcoliamo la P(A ∩ B), voglio dimostrare che:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Posso vederla come somme di aree degli insiemi e scrivere: Area di A + area di B - area di intersezione:

A ∪ B = A ∪ (A ∩ B)

L'area tratteggiata in azzurro è A̅ ∩ B, cioè ciò che non sta in A, ma sta in B.

Posso scrivere che:

P(A ∪ B) = P(A) + P(A̅ ∩ B)

Se confronto ⋝ e quello che ho ottenuto ⋜ vediamo come tirare fuori la probabilità dell'intersezione e dell'evento:

B = (A̅ ∩ B) ∪ (A ∩ B), parte tratteggiata.

Dato che questi termini si escludono a vicenda, quindi posso scrivere che:

P(B) = P(A̅ ∩ B) + P(A ∩ B)

Da questa parte così ricavo che:

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P(A∩B) = P(B) - P(A∩B)

Se otteniamo questa formula in modo tale da ottenere ciò che vuole:

Probabilità condizionata

Completiamo le cose definendo la probabilità condizionata.

Supponiamo di considerare due eventi A e B; vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi l'evento A. Diamo per certo che P(A) si verifichi:

P(A|B) = ^P(A∩B)/_P(B)

Dove:

P(A|B) è il simbolo delle probabilità condizionata che ha senso calcolare quando A e B si escludono a vicenda. Quindi P(A∩B) = 0; e quando la P(B) = 0 che il vè tempore.

Esaminiamo i seguenti casi:

1) A⊂B: allora l'intersezione A∩B=A P(A|B) == P(A) | - numero ) P(A)__= P(B)_______________ numero campione tra 0 e 1

2) B⊂A: Nel abbiamo detto che:

P(A|B)___= P(A∩B)____ P(B)____ = 1 P(B) - P(B)

L'avere P(A|B) 1 significa che sono sicuro che A si sia verificato.

In questo caso B⊂A allora A∩B=B.

Eventi statisticamente indipendenti

Definizione del professore:

• "A, B sono statisticamente indipendenti se l'avverarsi di uno dei 2 eventi non influenza la probabilità che si verifichi l'altro".

Se ciò si verifica allora diremo: A, B statisticamente indipendenti allora:

P(A)=P(A|B)

Questo perché se si realizza B, allora questo implica che si verifichi A.

Esempio

Suggeriamo di lanciare un dado non truccato:

A: {x pari ≤ 6} = {2,4,6}

B: {2}

Se A e B sono statisticamente indipendenti, allora:

P(2)=P(B)=¹/₆

P(B|A) = P(B∩A) = ¹/₆ perché l'intersezione A ∩ B = 1, cioè solo una volta può uscire il 2.

Probabilità di cui gode B condizionata dal verificarsi di A.

P(A) = ¹/₂

Il verificarsi della P(A) ha un'influenza sul verificarsi di P(B).

I 2 eventi sono statisticamente indipendenti. Statisticamente indipendenti sono eventi mutuamente esclusivi.

Probabilità totale

Supponiamo di avere una serie di eventi: A₁, A₂, ..., A_n mutualmente esclusivi, ma anche esaustivi. Vogliamo che essi vadano a durare una sequenza mutualmente esclusiva ed esaustiva:

L'unione degli eventi definisce lo spazio campione dove nel mio Ω non posso avere altri eventi.

Supponiamo di considerare quell'evento C, cerchiamo di ottenere la probabilità che quell'evento si verifichi:

P(C) = ∑ P(C|A_i) ⋅ P(A_i) ⟺

Vediamo da dove deriva questa formula:

C = [C∩A₁] ∪ [C∩A₂] ∪ [C∩A₃]

Per i colori guarda il disegno in alto.

P(C) = P(C∩A₁) + P(C∩A₂) + P(C∩A₃) ⊙

Ora riscriviamo usando le probabilità condizionate:

P(C|A₁) = P(C∩A₁) / P(A₁) da cui ricaviamo -P(C∩A₁) = P(C|A₁) ⋅ P(A₁)

Calcoliamo le stesse probabilità per A₂ e A₃, poi sostituisco quello che troviamo in ⊙, da cui ricavo la formula generale ⟺

Esercizio

Supponiamo di avere una trave soggetta a quelle forze tratteggiate, prima nella sezione A, e nella sezione B. Noi vogliamo calcolare la probabilità che la forza sia in A e in B.

Indichiamo con P(A) la probabilità che F sia in A:

P(A)=0,4

Indichiamo con P(B) la probabilità che F si trovi in B:

P(B)=0,6

Dato che 0,4+0,6=1 vuol dire che A∩B=0, dunque gli eventi sono esaustivi e mutuamente esclusivi.

Supponiamo che le probabilità di rottura per flessione sapendo che F sia in A:

P(rotta x flessione | A)=0,02

Aggiungiamo che le probabilità di rottura per taglio in A sia:

P(rotta x taglio | A)=0,005

Supponiamo che le stesse probabilità per la sezione B:

P(rotta x flessione | B)=0,01

P(rotta x taglio | B)=0,010

Si chiede di calcolare qual è la probabilità di rottura complessiva della struttura:

P(rotta E) = ?

Usiamo la formula relativa alle probabilità totali che la scriviamo come:

P(rotta) = P(rotta | A)·P(A) + P(rotta | B)·P(B)

Andiamo a scrivere i termini che ci mancano:

• P(rotta | A)=P(rotta x flessione | A) + P(rotta x ta...

p(A) = 0,025

Supponiamo che P(rotti x taglio) e P(rotti per flessione) è esclusivo a vicenda.

Ora consideriamo:

P(rotti/B) = P(rotti x flessione/B) + P(rotti x taglio)= 0,02

A questo punto andiamo a calcolare la:

P(rotti) = 0,025 x 0,4 + 0,2 x 0,6 = 0,022

Teorema di Bayes

Teorema usato quando abbiamo una serie di cause che portano al danneggiamento, e noi vogliamo calcolare quali è il più probabile.

Il teorema dice che:

Se abbiamo una sequenza di eventi mutuamente escludentesi ed esaustivi, un ulteriore evento C:

P(A_i|C) = ^{P(C|A_i) · P(A_i)} / _{∑i P(C|Aj) · P(Aj)}

Probabilità fatale dell’evento C.

Il teorema di Bayes è usato praticamente per il danneggiamento di una struttura (evento C). A causa di:

• Terremoto;
• Vento;

Se indico con D il danneggiamento, e con T il terremoto, e con V il vento. Con il teorema di Bayes sono in grado di calcolare la probabilità che T ha su D, e la P che il V ha su D (usiamo la relazione)

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