Tavola freno a ceppo

Tavola freno a tamburo a ceppi flottanti

Dati

R = 200 + 4A

Q = 100 + B

T

AG = ED = 3R

CD = {80 + q B}

DH = 200

f = 0.3

F = 1N

Calcolare il momento frenante agente sul tamburo

Calcolato prima di tutto i gradi di libertà del sistema, abbiamo:

• 7 corpi rigidi
• 8 coppie rotonali
• 2 vincoli di strisciamento

gdl: 3·7 - 8·2 - 2·2 = 21 - 16 = 1

Per calcolare il momento frenante occorre conoscere le forze che si scambiano i ceppi e il tamburo.

Per fare questo ci serviamo della circonferenza di Plotini.

Tavola freno a tamburo a ceppi flottanti

Dati

R = 200 + 4A

Q = 400 + B

TQ = 30

AG = ED = 3R

CD = {80 + 92B}

DH = 200

f = 0.3

F = 1N

Calcolare il momento frenante agente sul tamburo

Calcolato prima di tutto i gradi di libertà del sistema, abbiamo:

• 7 corpi rigidi
• 8 coppie rotonali
• 2 vincoli di strisciamento

gdl = 3.7 - 8.2 - 2.2 = 21 - 16. g = 1

Per calcolare il momento frenante occorre conoscere le forze che si scambiano il ceppi e il tamburo. Per fare questo ci serviamo della circonferenza di Pomiti.

Direzioni e angoli

z → Asse di simmetria

s → Direzione risultante

f → Normali

y → Direzione di accostamento

x → Direzione generica

θ = ε + β

Usura e pressione di contatto

Applichiamo l'mp di neye alla direzione generica x.

L’altezza dello strato usurato lungo la direzione generica dopo un numero φ di giri è pari a:

h = h₀ cos θ

Dove h₀ è l'altezza dello strato usurato lungo la direzione y di accostamento.

mp di neye

R δ β h₀ cos ε ≍ ρ p₀ r δ φ

Con δ spessore del corpo e del tamburo assunto unitario, la pressione lungo l'area di contatto varierà quindi con il coseno di β.

P(β) = p₀ cos β

Dove p₀ è una costante da determinare.

P(ε) = p₀ cos (ε - β)

Circonferenza di rotini

Ora introducendo la circonferenza di rotini, determiniamo una espansione analitica in funzione del raggio r del corpo e dell'angolo z di abbracciamento.

La forza scambiata fra corpo e tamburo in un arco infinitesimo:

dF = P(β) r dβ

Proiettando gli elementi di forza sulla direzione S e integrando su tutto l'arco di abbracciamento si ottiene la risultante delle forze normali F_N = ^α/2∫_-α/2 P_oRcos(ϵ-δ)dϵ = ^α/2∫_-α/2 P_ocos(β)Rcos(ϵ-δ)dϵ = = P_oR ^α/2∫_-α/2 cos(ϵ-β)cos(ϵ-δ)dϵ = ... F_N = ^P_oR/₂[αcos(β-δ) + senαcos(β+δ)]

La risultante delle forze ortogonali alla direzione S deve essere necessariamente nulla ^α/2∫_-α/2 P(β)R sin (ϵ-δ) dϵ = 0 → P_oR ^α/2 ∫_-α/2 cos(ϵ-β)sin(ϵ-δ)dϵ = 0

Risolvendo il precedente integrale si ottiene tgγ = tgβ ^{α - senα}/_{α + senα} che lega gli angoli γ, β ad α.

La risultante delle forze d'attrito è ortogonale a F_N e proporzionale ad essa mediante un coefficiente di attrito, F_t = Ƭ. Il risultato frenante si ottiene integrando sull'arco di abbracciamento le forze tangenziali esercitate dalle dase d'attrito.

F_N = ^α/2∫_-α/2 μ(β)P(β)R dϵ = ^α/2∫_-α/2 μ P_oR(cos(ϵ-β)dϵ = μP_oR^α/2∫_-α/2(cosϵ-βdϵ)

Momento frenante

Il momento frenante possiamo ottenerlo anche con la seguente espressione:

M_f = T · d = F_n d

d è la distanza fra l’asse di rotazione del tamburo e il punto di applicazione della risultante delle azioni tangenziali.

Eguagliando le espressioni otteniamo:

t · F_n d = #P_o R² ∫ cos (E-B) dE ₂ ²

Ora sostituendo F_n con la sua espressione analitica precedentemente trovata e dopo alcuni passaggi otteniamo:

2R² P_o m ^п cos B = F_n d ₂ d = 2R² m^п cos B = 4 R m (d) F_{n 2} α + mα cos θ

Infine abbiamo:

d = lo cos θ

lo è il diametro della circonferenza di Rollitt, l’insieme dei punti dove può essere applicata la risultante tangenziale in funzione di lo = 4 R m (d) α + mα cos θ

Valori calcolati

R = 229 mm

α = 116°

TR = 30 mm

AB = ED = 672 mm

CD = 83,2 mm

DH = 200 mm

F = ø

F = 1N

Calcolato il diametro della circonferenza di rotiti:

α = 116° = ¹¹⁶⁄₁₈₀ = 2,025

l_o = ^{7,229 · ln (9,205⁄_2,025)}⁄_{9,205 - ^9,205⁄2,025} = 269,5 mm

Calcolato l’angolo di attrito:

ψ = tg^-1 = 16,7°

Una volta noto ψ localizzato P_o sulla circonferenza di rotiti.

Per ricavare le forze agenti sul tamburo usiamo la statica grafica risolvendo l’equilibrio dei vari componenti degli assiemi.

Forze agenti sul tamburo

F₄₁ = 2,792 N

F₂₁ = 2,45 N

F₀₄ = 3,772

F₆₄ = 5,039 N

T₆ = 1,45 N

Procedimento analogo per il caso di sinistra.

F₂₃ = 2,95 N

F₀₃ = 3,82 N

F_S3 = 5,097 N

T_S = 1,507 N