Statistica inferenziale, esercitazione svolta, intervallo di confidenza ed errore standard

Statistica inferenziale

Esercitazione 4

Intervallo di confidenza

Stima con relativo errore standard

Problema 1

A un campione di 400 persone è stato chiesto se utilizzano abitualmente la carta di credito per i loro pagamenti oppure no. 240 persone hanno risposto di sì.

1. Determina, a un livello del 90%, un intervallo di confidenza per la proporzione sulla popolazione di coloro che utilizzano abitualmente la carta di credito.
2. Qual è l’ampiezza dell’intervallo determinato nel punto precedente?
3. Ammettendo come errore massimo il 2%, qual è il numero minimo di persone da intervistare?

Problema 2

Un’azienda confeziona pacchi di farina del peso netto di 500 g. Il confezionamento è automatico, ma negli ultimi periodi si sono registrate variazioni di peso rilevanti nelle confezioni. Su un campione di 40 confezioni si è visto che il peso medio è di 485 g, con una variabilità di 1225 g².

1. Qual è una stima, con relativo errore standard, del peso medio dei pacchi confezionati da questa macchina?
2. A un livello di significatività del 10% si può affermare che il peso medio dei pacchi confezionati dalla macchina è di 500 g?

Si vuole acquistare una nuova macchina che è possibile testare. Su un campione di 20 confezioni riempite dalla nuova macchina si sono avuti i seguenti risultati.

3. Considerando il campione ottenuto con la macchina che si vuole acquistare, si può affermare, sempre a un livello di significatività del 10%, che questa macchina riempie le confezioni in modo che il loro peso medio sia di 500 g?

Statistica inferenziale

Esercitazione 4

Intervallo di confidenza

Stima con relativo errore standard

Problema 1

A un campione di 400 persone è stato chiesto se utilizzano abitualmente la carta di credito per i loro pagamenti oppure no. 240 persone hanno risposto di sì.

1. Determina, a un livello del 90%, un intervallo di confidenza per la proporzione sulla popolazione di coloro che utilizzano abitualmente la carta di credito.
2. Qual è l’ampiezza dell’intervallo determinato nel punto precedente?
3. Ammettendo come errore massimo il 2%, qual è il numero minimo di persone da intervistare?

Problema 2

Un’azienda confeziona pacchi di farina del peso netto di 500 g. Il confezionamento è automatico, ma negli ultimi periodi si sono registrate variazioni di peso rilevanti nelle confezioni. Su un campione di 40 confezioni si è visto che il peso medio è di 485 g, con una variabilità di 1225 g².

1. Qual è una stima, con relativo errore standard, del peso medio dei pacchi confezionati da questa macchina?
2. A un livello di significatività del 10% si può affermare che il peso medio dei pacchi confezionati dalla macchina è di 500 g?

Si vuole acquistare una nuova macchina che è possibile testare. Su un campione di 20 confezioni riempite dalla nuova macchina si sono avuti i seguenti risultati.

3. Considerando il campione ottenuto con la macchina che si vuole acquistare, si può affermare, sempre a un livello di significatività del 10%, che questa macchina riempie le confezioni in modo che il loro peso medio sia di 500 g?

Problema 1

A un campione di 400 persone è stato chiesto se utilizzano abitualmente la carta di credito per i loro pagamenti oppure no. 240 persone hanno risposto di sì.

1. Determina, a un livello del 90%, un intervallo di confidenza per la proporzione sulla popolazione di coloro che utilizzano abitualmente la carta di credito.
2. Qual è l’ampiezza dell’intervallo determinato nel punto precedente?
3. Ammettendo come errore massimo il 2%, qual è il numero minimo di persone da intervistare?

a. La frequenza osservata è pari a f = ²⁴⁰/₄₀₀ = 0,6. Considerando l’intervallo di confidenza al 90%, dalle tavole della distribuzione normale troviamo z_1-^q = 1,645. Costruiamo l’intervallo di confidenza per la proporzione sulla popolazione di coloro che utilizzano abitualmente la carta di credito: [f - z_1-^q √ ^{f(1 - f)}/_n; f + z_1-^q √ ^{f(1 - f)}/_n] = [0,6 - 1,645 √ ^{0,6(1 - 0,6)}/₄₀₀; 0,6 + 1,645 √ ^{0,6(1 - 0,6)}/₄₀₀] = ]0,56; 0,64[.

b. Calcoliamo l’ampiezza dell’intervallo determinato nel punto precedente: 2 · z_1-^q √ ^{f(1 - f)}/_n = 2 · 1,645 √ ^{0,6(1 - 0,6)}/₄₀₀ = 0,08.

c. Calcoliamo ora il numero minimo n di persone da intervistare, ammettendo come errore massimo il 2%. n ≥ (^z_1-q/_{4 · e²}) ≥ ^1,6452/_{4 · 0,02²} ≥ 1692