Statistica inferenziale, esercitazione svolta, stima dei parametri

Statistica inferenziale

Esercitazione 2: la stima dei parametri

Problema 1

Considera il campione casuale X₁, X₂, X₃ in cui ogni variabile ha media 2 e varianza 0,1.

1. Stabilisci se lo stimatore per la media (2X₁-X₂+2X₃)/3 è corretto oppure no e scrivi, usando il campione casuale dato, uno stimatore corretto per la media della popolazione.
2. Supponendo che su un campione si siano trovati i valori 2, 3, 5, trova una stima per la media e per la varianza sulla popolazione usando il rilevamento sul campione.

Problema 2

Per controllare la produzione di 2000 scatoline destinate a contenere ganci, si è effettuata un’estrazione bernoulliana di un campione di 50 scatoline e di queste 15 sono risultate difettose. Effettua:

1. Una stima della percentuale della popolazione con il relativo errore standard;
2. Una stima del numero delle scatoline difettose con il relativo errore;
3. Una stima dell’intervallo di confidenza a livello del 99,74% della percentuale della popolazione;
4. Una stima dell’intervallo di confidenza della percentuale della popolazione con errore standard massimo.

Statistica inferenziale

Esercitazione 2: la stima dei parametri

Problema 1

Considera il campione casuale X₁, X₂, X₃ in cui ogni variabile ha media 2 e varianza 0,1.

1. Stabilisci se lo stimatore per la media (2X₁ - X₂ + 2X₃)/3 è corretto oppure no e scrivi usando il campione casuale dato uno stimatore corretto per la media della popolazione.
2. Supponendo che su un campione si siano trovati i valori 2, 3, 5, trova una stima per la media e per la varianza sulla popolazione usando il rilevamento sul campione.

Problema 2

Per controllare la produzione di 2000 scatoline destinate a contenere ganci, si è effettuata un’estrazione bernoulliana di un campione di 50 scatoline e di queste 15 sono risultate difettose. Effettua:

1. Una stima della percentuale della popolazione con il relativo errore standard;
2. Una stima del numero delle scatoline difettose con il relativo errore;
3. Una stima dell’intervallo di confidenza a livello del 99,74% della percentuale della popolazione;
4. Una stima dell’intervallo di confidenza della percentuale della popolazione con errore standard massimo.

Problema 1

Considera il campione casuale X₁, X₂, X₃, in cui ogni variabile ha media 2 e varianza 0,1.

1. Stabilisci se lo stimatore per la media (2X₁ - X₂ + 2X₃)/3 è corretto oppure no e scrivi, usando il campione casuale dato, uno stimatore corretto per la media della popolazione.
2. Supponendo che su un campione si siano trovati i valori 2, 3, 5, trova una stima per la media e per la varianza sulla popolazione usando il rilevamento sul campione.

a. Indichiamo con μ il valore della media della popolazione. Sappiamo che il campione è casuale e che le variabili campionarie X₁, X₂ e X₃ sono indipendenti e con la stessa distribuzione di probabilità, uguale a quella del carattere sulla popolazione. Quindi:

M(X₁) = M(X₂) = M(X₃) = μ = 2.

Indichiamo con T lo stimatore per la media T = (2X₁ - X₂ + 2X₃)/3.

Affinché lo stimatore T sia corretto deve essere M(T) = μ = 2.

M(T) = M((2X₁ - X₂ + 2X₃)/3) = (2M(X₁) - M(X₂) + 2M(X₃))/3 = (2·2 - 2 + 2·2)/3 = 2.

Abbiamo dimostrato che lo stimatore proposto per la media è corretto.

b. Lo stimatore corretto della media della popolazione è dato dalla media campionaria X̄, che per il campione in esame assume il valore:

X̄ = (2 + 3 + 5)/3 = 3,33.

Uno stimatore corretto della varianza è dato dalla varianza campionaria corretta, che per il campione in esame assume il valore:

s²_x = ((2 - 3,33)² + (3 - 3,33)² + (5 - 3,33)²)/(3 - 1) = 2,33.

Osserviamo che, in questo caso, è superflua la conoscenza della varianza (uguale a 0,1) di ogni variabile casuale del campione.