Spazio metrico e contrazione

Calcolo II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 1 — 21 ottobre 2010

1) Calcolare le seguenti distanze e norme

• (i) d(x, y) dove x = e y = sono le successioni di ` definite da x = (−1)^j, y = j/(j + 1);
• (ii) d(f, g) dove f, g sono le funzioni di C([−1, 1]; R) date da f(x) = 2x − 1, g(x) = 4 − 3x;
• (iii) d(f, 0) dove f è la funzione di C([0, 1]; R) data da f(x) = x^α (dove α è un numero reale positivo fissato).

2) In quali dei seguenti casi la coppia (X, d) è uno spazio metrico?

• (i) X è l’insieme delle caselle di una scacchiera 8 × 8, d(x, y) è il numero minimo di salti che un cavallo (degli scacchi...) deve fare per passare dalla casella x a quella y.
• (ii) X è l’insieme degli intervalli chiusi e limitati di R e d(I₁, I₂) = |I₁ − I₂| + 2|I₁ ∩ I₂|, dove |I| indica la lunghezza dell’intervallo. Se è uno spazio metrico, è completo?
• (iii) X è l’insieme di tutti i polinomi di una variabile, e d(P, Q) è data dalla somma dei moduli dei coefficienti di P − Q.

3) Disuguaglianza in uno spazio metrico

Sia (X, d) uno spazio metrico. Allora per tutti i punti x, y, z vale la disuguaglianza |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).

Dedurne che, per ogni y ∈ X fissato, l’applicazione x → d(x, y) è continua da X in R.

4) Funzioni φ_x

Sia (X, d) uno spazio metrico, x₀ ∈ X un punto fissato, e per ogni x ∈ X definiamo una funzione φ_x da X a valori in R come φ_x(y) = d(x₀, y) − d(x, y).

Dimostrare i fatti seguenti.

• (i) Per qualunque x, la funzione φ_x è continua e limitata, ossia φ_x è un elemento dello spazio metrico completo Y = C_b(X, R). (Suggerimento: usare l’esercizio 3).
• (ii) Abbiamo dunque definito un’applicazione i: X → Y che al punto x ∈ X associa la funzione φ_x, con Y la metrica d. Dimostrare che i è un’isometria (conserva le distanze).
• (iii) Dedurne che ogni spazio metrico ammette un unico completamento a meno di isometrie.

5) Condizioni su ξ

Sia ξ: R → R. Quali condizioni si devono mettere su ξ affinché d₁(x, y) = |ξ(x) − ξ(y)| e d₂(x, y) = ξ(|x − y|) siano due distanze su R?

6) Nuove distanze

Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che d̄(x, y), d̄(x, y) = 1 + d(x, y), è una distanza su X.

7)

Sia X = {(x, y): x ≥ y ≥ 0}, e sia d(P, Q) = d₂(P, Q) se P e Q sono nello stesso quadrante, e d(P, Q) = d(P, 0) + d(0, Q) se sono in quadra