Sottospazi R

Sottospazi R⁴, prodotto matrici, immagine applicazione, retta

Sottospazi R⁴, prodotto matrici, immagine applicazione, retta

1) Sottospazi di R⁴

Siano U, V due sottospazi di R⁴. Sia dim(U ∩ V) = 2. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• Dim(U + V) = 0
• Dim U ≥ 1
• Dim V > 1
• Dim(U + V) ≥ 0
• Dim(U + V) ≥ 1

Si ha U ∩ V ⊂ U + V, dunque U + V ha dimensione maggiore o uguale a 2.

2) Prodotto di matrici

Siano A e B due matrici. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• Ogni volta che AB e BA sono definiti risulta AB = BA.
• Può essere definito uno solo tra i prodotti AB e BA.
• Possono essere definiti entrambi i prodotti AB e BA.
• Può essere che né AB né BA siano definiti.
• Può essere che AB e BA siano entrambi definiti.

Il prodotto di matrici non è commutativo in generale.

3) Immagine di un'applicazione lineare

Sia f : R² → R² un'applicazione lineare. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• L'immagine di f può essere la retta x = 1.
• L'immagine di f può essere R².
• Il nucleo di f può essere R².
• Il nucleo di f non può essere R³.
• L'immagine di f può ridursi al solo vettore nullo.

L'immagine di f è un sottospazio vettoriale, ma la retta proposta non lo è.

4) Matrici simmetriche reali

Siano A e B due matrici quadrate simmetriche reali tali che esiste una matrice invertibile P per cui B = P^-1AP. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• A e B hanno gli stessi autovalori.
• A e B non hanno la stessa segnatura.
• A e B hanno determinanti diversi, in generale.
• A e B non possono avere autovalori negativi.
• A e B hanno autovalori complessi di modulo 1.

A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico.