Soluzioni prove Analisi

Prova scritta istituzioni di matematica

Il tempo a disposizione è di 2 ore. La sufficienza si raggiunge con 17 punti.

Autovalori e autovettori (ca. 5 punti)

Sia data la matrice C definita da

Si determinino gli autovalori di C, i relativi autovettori, e si dica se C è diagonalizzabile.

Soluzione. Gli autovalori si trovano annullando il polinomio caratteristico \(\text{det}(C - \lambda I)\), dove I è la matrice identica in \(\mathbb{R}^2\).

Con un calcolo diretto abbiamo

\(-\text{det}(C - \lambda I) = (2 - \lambda)(5 - \lambda) - 4 = \lambda^2 - 7\lambda + 6\)

da cui ricaviamo i due autovalori \(\lambda_1 = 1\) e \(\lambda_2 = 6\). (1 pt.)

Gli autovettori relativi a \(\lambda_1 = 1\) si trovano risolvendo con Gauss il sistema (scritto in forma matriciale)

e sono dunque della forma (t, -t)∈\(\mathbb{R}\) con t arbitrario. (1,5 pts)

Gli autovettori relativi a \(\lambda_2 = 6\) si trovano risolvendo con Gauss il sistema

e sono dunque della forma (t, 4t)∈\(\mathbb{R}\) con t arbitrario. (1,5 pts)

Possiamo infine affermare che C è diagonalizzabile: molteplicità algebrica e geometrica coincidono (in questo caso, sono uguali a 1) per ambo gli autovalori. (1 pt.)

Serie di funzioni (ca. 8 punti)

1. Si determini il raggio di convergenza delle serie di potenze \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n^7 - 3)(x - 1)^n}{5^n + 1}\).
2. Si consideri la funzione \(2\pi\)-periodica \(g(x)\) definita da \(g(x) = e^x\) per ogni \(x \in [-\pi, \pi)\) ed estesa per periodicità a tutto \(\mathbb{R}\). Si calcoli il coefficiente \(a_1\) della serie di Fourier \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\) associata ad \(f\).
3. A cosa converge la serie di Fourier di \(g\) per \(x = \pi\)?

Soluzione.

1. Per calcolare il raggio di convergenza usiamo ad esempio il criterio di D'Alembert (0,5 pts per un criterio valido) e, dopo averli convenientemente riordinati, raccogliamo i termini di ordine maggiore \(n^7\) al numeratore, \(5^n\) e \((n + 1)^7\) al denominatore, rispettivamente: otteniamo (dopo alcune semplificazioni)

\(\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{(n+1)^7 - 3}{5^{n+1} + 1} \cdot \frac{5^n + 1}{n^7 - 3}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^7}{5n^7} = \frac{1}{5}\).

Pertanto il raggio di convergenza è \(\frac{1}{5}\). (0,5 pts)

2. Per definizione vale (1 pts) \(\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx\).

L'integrale \(\int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx\) si può ad esempio risolvere con una duplice integrazione per parti. Si ha

\(\left[ e^x \sin(x) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin(x) \, dx = \left[ e^x \sin(x) \right]_{-\pi}^{\pi} - I = 0\)

Si ha dunque (2,5 pts. per una corretta integrazione)

\(I = e^{\pi} \sin(\pi) - e^{-\pi} \sin(-\pi) - I = 0 \Rightarrow I = 0\)

da cui \(a_1 = \frac{0}{2\pi} = 0\).

3. La funzione \(g\) è discontinua in \(x = \pi\), dunque la serie di Fourier converge alla media tra il limite destro e sinistro (0,5 pts.). Sfruttando la periodicità della funzione, abbiamo che il valore cercato è

\(\frac{1}{2}\left(\lim_{x \to \pi^-} g(x) + \lim_{x \to \pi^+} g(x)\right) = \frac{1}{2}(e^{\pi} + e^{-\pi})\).

Equazioni differenziali: Teoria (ca. 6 punti)

1. Si descriva il metodo per determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale \(u''(t) + a_1 u'(t) + a_0 u(t) = 0\), con \(a_0, a_1 \in \mathbb{R}\).
2. Si descriva il metodo della variazione delle costanti per trovare una soluzione particolare dell’equazione \(u''(t) + a_1 u'(t) + a_0 u(t) = f(t)\), con \(a_0, a_1 \in \mathbb{R}\) e \(f(t)\) funzione assegnata.

Soluzione.

1. (3 pts.) La soluzione generale dell’equazione omogenea assegnata si scrive nella forma \(u_h(t) = C_1 u_1(t) + C_2 u_2(t)\), dove \(C_1\) e \(C_2\) sono costanti arbitrarie e le soluzioni indipendenti \(u_1(t)\) e \(u_2(t)\) si trovano risolvendo l’equazione caratteristica \(\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0\).

Ponendo:

• Se l’equazione ha soluzioni reali distinte \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), allora \(u_1(t) = e^{\lambda_1 t}\) e \(u_2(t) = e^{\lambda_2 t}\).
• Se l’equazione ha soluzioni reali coincidenti \(\lambda_1 = \lambda_2\), allora \(u_1(t) = e^{\lambda_1 t}\) e \(u_2(t) = t e^{\lambda_1 t}\).
• Se l’equazione ha soluzioni complesse coniugate \(\lambda_1 = \alpha + i\beta\) e \(\lambda_2 = \alpha - i\beta\), allora \(u_1(t) = e^{\alpha t} \cos(\beta t)\) e \(u_2(t) = e^{\alpha t} \sin(\beta t)\).

2. (3 pts.) Una soluzione particolare dell’equazione non omogenea si può sempre trovare nella forma \(u_p(t) = \gamma_1(t) u_1(t) + \gamma_2(t) u_2(t)\), dove le funzioni \(u_1\) e \(u_2\) sono calcolate come sopra, mentre le derivate delle funzioni \(\gamma_1(t)\) e \(\gamma_2(t)\) risolvono il sistema

\(\begin{cases} \gamma_1'(t) u_1(t) + \gamma_2'(t) u_2(t) = 0 \\ \gamma_1'(t) u_1'(t) + \gamma_2'(t) u_2'(t) = f(t) \end{cases}\)

Opzionale: col metodo di Cramer e integrando, abbiamo le seguenti formule esplicite per \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\):

\(\gamma_1(t) = \int \frac{f(t) u_2(t)}{W(t)} \, dt\), \(\gamma_2(t) = \int \frac{f(t) u_1(t)}{W(t)} \, dt\),

dove \(W(t)\) è dato da \(W(t) = \det \begin{pmatrix} u_1(t) & u_2(t) \\ u_1'(t) & u_2'(t) \end{pmatrix}\).

Estremi relativi (ca. 7 punti)

Si consideri la funzione di tre variabili

\(f(x, y, z) = z^2 e^y + \ln(1 + x^2) + y^2\).

1. Si determinino tutti i punti stazionari di \(f\).
2. Per il punto stazionario \((0, 0, 0)\) si dica se esso è un massimo/minimo locale, o un punto di sella.

Soluzione.

1. I punti stazionari si trovano annullando il gradiente, dunque risolvendo il sistema (1,5 pts.)

\(\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{1+x^2} = 0\\ \frac{\partial f}{\partial y} = 2yz^2 e^y + 2y = 0\\ \frac{\partial f}{\partial z} = 2ze^y = 0 \end{cases}\)