Analisi matematica I 10/2/2011 Compito A
Calcolare il seguente limite limx→0 (1 - cos x) log(1 + x2) / (2 sen x2 - x2 - ex2/2 + cos x)
Calcolare il seguente integrale ∫ 1 / (x + 2√x - 2 - 5) dx.
limn→0 (1 - cos n) · log (1+n2) / (2 sen n2 - n2 - en2/2 + cos n)
Al numeratore ci sono solo quoti quidi possiamo utilizzare i limiti notevoli = limn→0 [(1 - cos n) / n2 · log (1+n2) / n2] / (2 sen n2 / n2 - n2 - en2/2 + cos n)
Analisi matematica I 10/2/2011 Compito A
Calcolare il seguente limite limx→0 (1 − cos x) log(1 + x2)/2 sen x2 − x2 − ex2/2 + cos x
Calcolare il seguente integrale ∫1/x + 2√x − 2 − 5 dx.
limn→0 (1 − cos n) ⋅ log (1+n2)/2 sen n2 − n2 − en2/2 + cos n
Calcolo del limite
Al numeratore ci sono solo prodotti quindi possiamo utilizzare i limiti notevoli = limn→0 (1 − cos n)/n2 ⋅ log (1+n2)/n2 ⋅ n2/n22 sen n2 − n2 − en2/2 + cos n
= limn→∞ 1/2 n2 ⋅ 1 n2 / 2 sen2 n - n2 - en2/4 + cos n
Al denominatore ci sono sottoinsiemi devo applicare Taylor = limn→∞ n4/2 / 2 (n - n5/6)2 - n2 - (1 + n2/2 + n4/8) + (1 - n2/2 + n4/24)
= limn→∞ n4/2 / 2n2 + n6/18 - 2/3 n4 - n2 - 1 - n2/ - 1 - n2/8 + 1 - n2/24 = 12/5
Calcolo dell'integrale
∫ 1/√n+2 √n-2 - 5 dn √n-2 = t ----- n + 2 = t2
n = t2 + 2
dn = 2t dt
∫ 2t dt / t2 + 2t t-5 = ∫ 2t/t2, 2t - 3 dt
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