Simulazione scritto Algebra lineare e geometria

Corso di laurea in Ingegneria Industriale (I–2)

Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 18. 6. 2021

Cognome …………………………. Nome …………………………….. Matricola ……………………… e-mail (a stampatello) …………………………

Esercizio 1 2 3 4 Punteggio max 15 5 5 5 Punti assegnati Durata della prova: tre ore.

1. È assegnato l’endomorfismo \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \) definito dalle seguenti relazioni:

\( f(1,1,1,1) = (h+1,h+1,1,2h+1) \)

\( f(0,1,1,0) = (h,0,0,1) \)

\( f(0,1,0,1) = (1,0,0,h) \)

\( f(1,0,2,2) = (2h+2,4h+1,1,3h+2) \)

al variare di \( h \in \mathbb{R} \).

1. Determinare la matrice associata a \( f \) rispetto alla base canonica di \( \mathbb{R}^4 \). (4 punti)
2. Studiare \( f \), al variare di \( h \in \mathbb{R} \), determinando in ciascun caso \( \ker f \) e \( \Im f \) e le loro equazioni cartesiane. (4 punti)
3. Nel caso \( h = 1 \) verificare che \( \mathbb{R}^4 = \Im f \oplus \ker f \). (3 punti)
4. Diagonalizzare la matrice:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) (4 punti)

2. Determinare le equazioni della retta \( t \) passante per \( P = (1,2,-1) \), ortogonale alla retta

\( r: \begin{cases} 2x + y - 3z - 1 = 0 \\ -1x - 3y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \)

3. Studiare il fascio di coniche \( \phi \) di equazioni:

\( 3x^2 - kxy + 2ky - 4k = 0 \), determinando anche i punti base e la conica nascosta.

Classificare la conica nascosta del fascio \( \phi \) e se possibile trovare il suo centro di simmetria.

4. Determinare le quadriche contenenti la conica:

\( C_3: \begin{cases} z = 0 \\ xy + 3x + 3y + 7 = 0 \end{cases} \), passanti per i punti \( A = (-1,1,1,1) \), \( B = (0,1,1,0) \) e contenenti la retta \( s: \begin{cases} t = y = z = 0 \end{cases} \).

Corso di laurea in Ingegneria Industriale (F-Z)

Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 18. 6. 2021

Cognome .................................. Nome ................................... e-mail (a stampatello) ...............................................................

Esercizio 1 2 3 4 Punteggio max 15 5 5 5 Punti assegnati Durata della prova: tre ore.

1. È assegnato l'endomorfismo f : R⁴ → R⁴ definita dalle seguenti relazioni:

f (1, 1, 1, 1) = (h + 1, h, h + 1, 2h + 1)

f (0, 1, 1, 0) = (h, 0, 0, 1)

f (0, 0, 1, 0) = (1, 0, 0, h)

f (1, 0, 2, 2) = (2h + 2, 4h + 1, 1, 3h + 2)

al variare di h ∈ R.

1. Determinare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R⁴. (4 punti)
2. Studiare f, al variare di h ∈ R, determinando in ciascun caso Ker f e Im f e le loro equazioni cartesiane. (4 punti)
3. Nel caso h = 1 verificare che R⁴ = Im f ⊕ Ker f. (3 punti)
4. Diagonalizzare la matrice:

A = \[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\-1 & 2 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\] (4 punti)

Determinare le equazioni della retta t passante per P = (1, 2, -1), ortogonale alla retta

r: { 2x + y - 3z - 1 = 0 x - 3y + 2z + 1 = 0

Studiare il fascio φ di coniche di equazioni:

3x² - kxy + 2ky - 4k = 0, determinando anche i punti base e la conica nascosta.

Classificare la conica nascosta del fascio φ e se possibile trovare il suo centro di simmetria.

Determinare le quadriche contenenti la conica:

C₃: { z = 0 xy + 3x + 3y + 7 = 0, passanti per i punti A = (-1, 1, 1, 1), B = (0, 1, 1, 0) e contenenti la retta s : t = y - z = 0.

Svolgimento e calcoli

Endomorfismo e matrice

(x + y + z + t = (h + 1, h + 1, 1, 2h + 1)

x + z = (h, 0, 0, 1)

y + t = (1, 0, 0, h)

x + 2z + 2t = (2h + 2, 4h + 1, 1, 3h + 2)

------------------------------------------------------------

y = (h, 0, 0, 1) - z

t = (1, 0, 0, h) - y

x = (2h + 2, 4h + 1, 1, 3h + 2) - 2z - 2t

------------------------------------------------------------

y = (h + 0, 0, 1) - z

t = (1, 0, 0, h) - y

x = (2h + 2, 4h + 1, 1, 3h + 2) - 2z - 2(1, 0, 0, h) + 2y

------------------------------------------------------------

y = (h, 0, 0, 1) - z

t = (1, 0, 0, h) - (h, 0, 0, 1) + z

x = (2h, 4h + 1, 1, h + 2) - 2z + 2(h, 0, 0, 1) - 2z

------------------------------------------------------------

y = (h, 0, 0, 1) - z

t = (1, 0, 0, h - 1) + z

x = (4h, 4h + 1, 1, h + 4) - 4z

(4h, 4h + 1, 1, h + 4) - 4z + (h, 0, 0, 1) - z = x + (h, 0, 0, 1) + z = (h + 1, h + 1, 1, 2h + 1)

------------------------------------------------------------

(-3z + (4h + 1, 4h + 1, 1, 2h + 1) = (h + 1, h + 1, 1, 2h + 1)

------------------------------------------------------------

(-3z + (3h, 3h, 0, 3) = o

(3z = (3h, 3h, 0, 3)

y = (h, 0, 0, 1) - (h + h, 0, 1)

t = (1, 0, 0, h) - (h + h, 0, 0, 1) + (h, 0, 0, 1)

x = (4h, 4h + 1, 1, h + 4) - (4h, 4h, 0, 4)

------------------------------------------------------------

(x = (0, 1, 1, h)

y = (0, h, 0, 0)

z = (h, h, 0, 1)

t = (1, h, 0, h)

|Ht| = (-h)(-1)⁴ = |0 h 1|    |1 0 0|    |h 1 h|     = -h { 1 - h²        (-h)(1-h²)=h³ h = h(h² - 1)

l Mf l = 0

h = 0 oppure h = ±1

Caso h = 0

h = 0

Mf = | 0 2 0 1 |        | 0 -1 0 1 |        | 0 0 3 0 |        | 0 0 0 -1 |        n2 - n3

dm lmf = 3  l → TR4 → lmf  TR4 → l f non è suriettiva → l non è un isomorfismo

Bmf = [ (0,1,1,0), (0,0,0,1), (1,0,0,0) ]        | 0 1 0 0 |        | 1 0 0 0 |        | 0 0 1 0 |

(x y z t)   → det = 1 f - λ I⁴ |1 0 0                                 | y z t                                                        x (1) ⁵ |1 0 0 |        y z t = 0

lmf = { (x,1,2) → TR³ | y z - 0 }

Teorema della dimensione

dm Ker = dmTR⁴ - dm lmf = 4 - 3 = 1 → l f non è iniettiva        f = 0        x → inc. lib.        y = 0

Ker f = { (x,1,2) → TR⁴ x e z = 0 }

Caso h = 1

h = 1

Mf = | 0 0 -1 1 |        | 0 -1 0 1 |        | 0 0 3 0 |        | 0 0 -1 1 |        n1 - n2        n2 - n3        -1

Mf = | -1 0 0 1 |        | 0 -1 0 0 |        | 0 0 0 1 |        n3 + n2

r = 3 = dm lmf < dm TR⁴ → lmf  TR4 → l non

l non è suriettiva → l non è un isomorfismo

Bmf = [ (0,1,1,1), (0,-1,0,0), (1,1,0,1) ]        | 0 1 1 1 |        | 0 1 0 0 |        | 1 0 0 1 |

( x y z t) → det = 1 : (1*) | -1 0 0 |        -1                                         x (1) ⁵ |1 0 0 |        x → z + t + x (1) = 1 → - z + t = 0

lmf = { (x,y,z,t) → TR⁴ | x, - z + t = 0 }

Teorema della dimensione

dm Ker = dm TR⁴ - dm lmf = 4 - 3 = 1 → l f non è iniettiva

z+t

t=0

x+y=0

x-t=0

⇒ pen t=1; Bkerl=[0,0,1,1]

t inc. lib.

Kerf={(x,y,z,t)∈ℝ⁴ | z+t+y-x=x=0}

Si verifica CTR⁴=Imf⊕Kerf ⇒ dim TR⁴=1=dim Im f + dim Ker f=3+1=4

Verificato

t=-1

Imf =0 0 1 11 0 -1 10 1 11 0 0

n₁≠n₂

n₄≠n₃⇒ -3=dim Im f ⊳dim T⁴ ⇒ Im f ∩T⁴⇒ f non è suriettiva⇒ f non è un isomorfismo

Im f={(x,y,z,t)∈ℝ⁴ | x-z-t=0}

Teorema della dimensione

dim Ker f=dim TR⁴ - dim Im f=4 - 3=1⇒ f non è iniettiva

-z+t+x(▲-y⇒ x-z-t=0

x+y-z

z=0

(x-t=0

(y-zt-0

⇒ x+z+t=0⇒ pen t=1; Bkerf =[0,0,1,1]

Kerf={(x,y,z,t)∈ℝ⁴ | t-z=x+y-zz=x=0}

Caso generale

h ≠ 0 h ≠±1

ℝ⁴ ≠ 0 ≡ W ℜ M

dim Im f=4=dim TR⁴ ⇒ Im f=TR⁴³ Suriettiva

Teorema della dimensione

dim Ker f=dim TR⁴ - dim Im f=4-4=0⇒ f è iniettiva⇒ f è un isomorfismo ⇒ Ker f=0

Diagonalizzazione

4Δ = 1 0 01 2 10 0 1

Si calcola p(λ)

|A - λI| = 1-λ 0 01 2-λ 10 0 1-λ

= (1-λ)²(2-λ)

λ₁ = 2

(1-λ)² = λ - 2λ + 1 => Δ = 0 = 4 - 4 => λ = 22= 1

λ₂ = 1 con molteplicità algebrica 2

Si pone il caso per λ = 1 0 0 0

p(λ) = 1 1 00 0 0

=> r = n - 1

dimV / = dimIR³ - r = 3 - 1 = 2 = molteplicità geometrica

Per λ = 1 la m.a. e la m.g. sono uguali => l'endonomismo è semplice

Per λ₁ = 2, λ₂ = 1, λ₃ = 1

La matrice A è diagonalizzabile; si scrive

La matrice: 2 0 01 0 00 0 1

Retta ortogonale

26

P = (1, 2, -1)

Π = 2x+y-3z-1=0

-x-3y+2z+1=0

2x+y-3z-1+h(-3y+2z+1)=0

Si impone il passaggio per P

2·1 + 2 + 3 + h(1-6 - 2 + 1)=0

6 + ( - 6h)=0 => 6h=6 => h= 1

2x + y - 3z - 1 + 1 x - 3y + 2z + 1 = 0

3x - 2y - z = 0 ovvero la retta passante per P = (1,2 -1)

ottogonale a Π

Fascio di coniche

φ: 3x²-kxy+2ky-4k=0

B= ( 3 -k/2 0 -k/2 0 k 0 k -4k )

A= ( 3 -k/2 0 -k/2 0 )

|B|=-3k²- [( -4kk-k² ) (x-k_-2)] = -3k²+k³ = k²(k-3)

Δ₁=-^k2⁄₄

|B|= 0 ⇔ k=0 or k=3

per k=0

la conica è riducibile ed è spezzata in due rette.

sostituendo nella equazione della conica ᾬ 3x²= le rette sono due coincidenti => r(B)=1

per k=3

la conica è riducibile ed è spezzata in due rette.

si sostituisce nella equazione della conica

3x² -3xy+6y -12

x² -ky=-2y-⁸=12-⁸+16

Δ= y² - 4 (2y -1) = y² -8y+16

x= y+^√(y+4)⁄₂

x= y+2+^√(y+4)⁄₂

x₁ = 2

x₂ = y+4

la conica si spezza in due rette distinte 2-y =0 and y-x+2 = 0

|B| ≠ 0 ⇔ k≠0 e k≢3

per questi valori

|Δ₁| ≠ 0 ⇔ |Δ₁| ≠ 0 per k≠0= caso preced.

quindi la conica non sarà mai una parabola

|Δ₁|= 0 ⇔ |Δ|>0 per k≠0 e in nessun altro caso.

in questo caso la conica è un'ellisse e mai una circonferenza dato che tr(A)=3+0 ≠ 3=tr(O)

|Δ₁| 0 per k≠0 e in nessun altro caso.

in questo caso la conica è una iperbole mai un'equicitmate dato che tr(A)=3+0⇒3≠70

per determinare la conica nascosta si prende l'equazione principale della conica isolando k:

3x²-k(xy+2y-4)=0