Sesta esercitazione di Statistica

Esercitazione 27-05-14

Esercizio 11.16

I dipendenti di una catena di negozi di materiali per l'edilizia a rischio di chiusura vengono interpellati a proposito di un'eventuale partecipazione alla proprietà dell'azienda. Alcuni si sarebbero disposti a investire fino a 10.000 € con entrate immediate fino a 500€, altri invece non sarebbero per nulla interessati. In un campione casuale di 175 dipendenti in attività intervistati, quelli che parteciperebbero alla proprietà sono 78, mentre tra 604, che non vogliono partecipare 208 sono gli stessi licenziati.

Sia α il livello di significatività del 5%.

Ipotesi nulla delle proporzioni di licenziati, se stessi, nulla delle proporzioni contro l'ipotesi alternativa bilaterale:

n_x = 175

n_y = 604

p̂_x = ⁷⁸/₁₇₅ = 0,44

p̂_y = ²⁰⁸/₆₀₄ = 0,34

α = 0,05

α/2 = 0,025 (si usa α/2 perché è un test bilaterale)

H₀ : p_x - p_y = 0

H₁ : p_x ≠ p_y oppure p_x ≠ p_y ≠ 0

Statistica test: Z = (p̂_x - p̂_y) / √(p̂₀(1 - p̂₀))_nx + p̂₀(1 - p̂₀))_ny

p̂₀ = (_{nxp̂x + nyp̂y}) / (n_x + n_y)

p̂₀ = (175 x 0,44 + 604 x 0,34) / (175 + 604) = 0,36

Z = (0,44 - 0,34) / √(0,36(0,64) / 175 + 0,36(0,64) / 604) = 2,44

Z_α/2 = Z_0,025 = ±1,96

Rifiuto l'ipotesi H₀

Esercitazione 27.05.14

Esercizio 11.16

I dipendenti di una catena di negozi di materiali per l'edilizia a rischio di chiusura, vengono interpellati a proposito di un'eventuale partecipazione alla proprietà dell'azienda. Alcuni sarebbero disposti a investire fino a 10.000 € con anticipi immediati di fino a 5000. Altri invece, mai: sarebbero per nulla interessati. In un campione casuale di 175 dipendenti che non appartenni a quelli dei proprietari 78 sono già stati licenziati mentre suol quelli che non vogliono partecipare 208 sono già stati licenziati.

Si verifichi a livello di significatività del 5% l'ipotesi nulla delle proporzioni dei licenziati.

Si tests sulle due proporzioni contro l'ipotesi alternativa bilaterale.

n_x = 175

n_y = 604

ũ_x = 78 / 175 = 0,44

ũ_y = 208 / 604 = 0,34

α = 0.05

α/2 = 0.025 (si usa α/2 perché è un test bilaterale)

H₀ = p_x - p_y = 0

H₁ = p_x ≠ p_y oppure p_x = p_y ≠ 0

Statistica test: Z = (P̂_x - P̂_y) / sqrt( (P̂₀(1 - P̂₀)(1/n_x + 1/n_y )

P̂₀ = (n_xP̂_x + n_yP̂_y) / (n_x + n_y)

P̂₀ = (175 x 0.44 + 604 x 0.34) / (175 + 604) = 0.36

Z = (0.44 - 0.34) / sqrt((0.36)(0.64)/175 + (0.36)(0.64)/604) = 2.14

Zα/2 Z α/2 = ±1.96

[Rifiuto l'ipotesi H₀]

Esercizio 14.22

I fogli di plastica prodotti da un macchinario sono periodicamente controllati per verificarne le variazioni nello spessore. Le varianze degli spessori superano 2.25 mm² e necessario un intervento per controllare il processo produttivo. In un campione casuale di 10 fogli prodotti in un particolare turno si sono ottenute le seguenti misure di spessore (in mm)

226   232   227   225

228   228   229   230

• Calcolare la varianza campionaria n=10

X̄ = 227.6

Σ(X_i−X̄)² = 64.1

S² = 46.4 = 5.15     9

• 2. Verificate, a un livello di significatività del 5%, l’ipotesi nulla che la varianza della popolazione sia ≤ p=2.25

H₀ : σ² ≤ 2.25

H₁ : σ² > 2.25

χ² = ^{(n-1) S2}/ _σ0²

α = 0.05

Rifiuto H₀ se χ² > χ²      n−1,α       χ²

χ²_1−α= ^{9 × 5.15}/2.25 = 20.6

Valore critico del χ²            n−1,α=16.919

Risultato [ ]

Esercizio

[Test parametrico sulla media]

Si vuole verificare se il contenuto di nicotina di un certo di marche di sigarette, che nel pacchetto riporta la dicitura ‘nicotina ≤ 23 mg,’ rispetti effettivamente quella dichiarazione del produttore. Si sa che il contenuto di nicotina si distribuisce normalmente con un deviatore quadratica medio pari a 1 mg e elementi le analisi condotte su un campione di dieci specifiche scatole casualmente hanno fornito i seguenti risultati:

Sigaretta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

24.542 26.13 22.23 23.23 24.00 26.41 24.78 22.30 24.91 25.02 24.62

Le ipotesi che si può porre e verifico– 5.1

H₀ : μ ≤ 23

H₁ : μ > 23

ΣX_i/n = 24.3 61/10 = 24.361

Sia data un livello di significatività del 5%, se l’affermazione del produttore va rispettato o meno.

Procedimento: confrontare la statistica test con il valore critico.

Statistica test: Z_o = ^{X̄ - μ} = ^24.34−23      S/√n       1/√10 = 4.24

Valore critico Z_α = 1.64

Rifiuto l'ipotesi H₀

(C) Si calcoli la probabilità di commettere un errore del secondo tipo nel caso in cui il contenuto medio di nicotina sia pari a 24.02.

β = P(X̄ < X^c | µ = 24.02) = P(Z < X̄ - µ¹ / δ/√n)

X^c = µ₁ + z_α · δ/√n = 23 + 1.64 · 1/√10 = 23.52

P(Z < 23.52 - 24.02/1/√10) = P(Z ≤ 1.58)

F(1.58) = 0.9429

Potenza del test

β = 1 - 0.94295 = 0.057

23 23.52

23.52 24.02

Esercizio 2

Da un campione di 6 gare ufficiali sono stati misurati i tempi di reazione allo start di un olimpionico sui 100 metri. I tempi di reazione sono i seguenti:

Numero gare 1 2 3 4 5 6

Tempo di reazione 2.4 2.1 2 2.5 3 2.5

Si calcoli l'intervallo di confidenza a livello 95% per il tempo medio di reazione dell'atleta.

Varianza non nota

1 - α = 0.95 α = 0.05 α/2 = 0.025 n = 6   Σ_{i 0.60 Statistica test: Z = (p-hat - p) / sqrt((p(1-p)) / n) = (0.46 - 0.6) / sqrt((0.4(0.6))/250) = -1.94 Accetto H0 | Rifiuto H0 | - - - | - - - | 1, -1 | 1,94 | Zα Rifiuto ipotesi H0 c)Si calcoli: il p-value del test}

• 2^a regola di decisione

p-value = probabilità effettiva = probabilità di trovare valori maggiori o uguali a quello osservato.

Statistica test: Z = 1.94 = F(1.94) = 0.97381

1 - 0.97381 = 0.02619

α = 0.08 è > α > p-value = Rifiuto H₀

p-value = 2.71

Esercizio 1

Per un'indagine sul lavoro femminile sono state rilevate le ore lavorate giornalmente di un campione di 60 lavoratrici residenti in Toscana e di un campione di 45 lavoratrici residenti in Lombardia. I risultati sono:

Toscana (X) Media campionaria = S_s

Lombardia (Y) ŷ = 6.5 S_y² = 9 n_y = 45

Verificare se le osservazioni campionarie possono suggerire le ipotesi che in Toscana ci sia una tendenza maggiore (α = 0.05 del part-time (i.s. 1 d.s.))

H₀: μ_x - μ_y = 0 oppure μ_x = μ_y

H₁: μ_x - μ_y ≠ 0 oppure μ_x ≠ μ_y

T = (x-bar - y-bar) / sqrt((SP_x² / n_x) + (SP_y² / n_y))

S_p² = ((n_x - 1) S_x² + (n_y - 1) S_y²) / (n_x + n_y - 2)

(59)(4)² + (44)(9)²) / 60 + 45 - 2 = 6.16