Serie di funzioni, limiti di funzioni con sviluppi in serie

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di funzioni e serie di potenze

Serie di Maclaurin

Limiti con gli sviluppi in serie

Stabilire se una funzione ha punti stazionari

Esercizio 1

Calcola il seguente limite:

$\lim (\frac{2^{-}}{2x}\cdot tanx),x_{\to }$

Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Consideriamo tan x = sin x / cos x e scriviamo gli sviluppi di Maclaurin di seno e coseno:

sin x = ∑_n=0^{∞ (-1)n}/(2n+1)! x²ⁿ⁺¹ = x + r₂(x) con lim_x→0 r₂(x)/x = 0, ∀ x ∈ R;

cos x = ∑_n=0^{∞ (-1)n}/(2n)! x²ⁿ = 1 - x²/2 + r₃(x) con lim_x→0 r₃(x)/x² = 0, ∀ x ∈ R.

Ora sostituiamo gli sviluppi nel limite e procediamo:

lim_x→0 [(2-x²)/(2x) · tan x] = lim_x→0 [(2-x²)/(2x) · (sin x/cos x)] =

= lim_x→0 [(2-x²)/(2x) · (x + r₂(x))/(1 - x²/2 + r₃(x))] = lim_x→0 [(2x + 2r₂(x) - x³ - x²r₂(x))/(2x - x³ + 2x²r₃(x))] =

= lim_x→0 [(2 + 2r₂(x)/x - x² - x²r₂(x)/x)/(2 - x² + 2x²r₃(x))] = 2/2 = 1,

dove sono state usate le relazioni:

• lim_x→0 x² · (r₂(x)/x) = 0
• lim_x→0 x² · (r₃(x)/x²) = 0