Riempimento di una botte di vino

Riempimento di una botte di vino

Meccanica dei fluidi

Riempimento di una botte di vino

Meccanica dei fluidi

Sul fondo di un grande tino cilindrico riempito con 200 hl di vino fino ad una altezza h = 2,5 m, è stato praticato un foro di sezione σ = 2 cm² munito di rubinetto. Si vuole travasare una parte del vino in una botte più piccola sistemata sotto il tino (Figura 10.8). Calcolare il tempo necessario per riempire completamente la botte sapendo che la sua capacità è 4/5 di quella del tino.

Calcoliamo anzitutto la sezione Σ del tino. Dato che il volume V del vino in esso contenuto è noto come pure la sua altezza h, si ottiene ovviamente:

Σ = V/h

Poiché V = 200 hl = 2000 l = 2 m³ e h = 2,5 m, si deduce Σ = 0,8 m². Fissiamo ora un asse verticale x di riferimento, orientato verso l’alto con l’origine O nel punto ove è situato il rubinetto e consideriamo il tino come un condotto di sezione iniziale Σ e sezione finale σ.

Immaginando che il vino si comporti come un fluido incompressibile, non viscoso ed in moto laminare verso il basso per l’effetto della gravità, utilizziamo il teorema di Bernoulli per determinare la velocità con cui esso diminuisce nel serbatoio, mentre si scarica attraverso il rubinetto.

Indicata con p₀ la pressione atmosferica, con ρ la densità (costante) del vino, con x la sua altezza in un generico istante t, con v₁ la velocità con cui esso diminuisce nel serbatoio e con v₂ la sua velocità di uscita dal rubinetto, scriveremo:

p₀ + (½) ρ v₁² + ρ g x = p₀ + (½) ρ v₂²

Si osservi che in ambo i membri della (1) compare la pressione atmosferica p perché, sia la superficie libera del vino nel serbatoio, sia lo scarico del rubinetto, sono a contatto con l’aria e quindi si trovano alla medesima pressione. Inoltre si può notare che al secondo membro dell’equazione non compare il termine “ρ g x” perché a livello del rubinetto, in base al sistema di riferimento scelto, è evidentemente x = 0.

Applichiamo ora al nostro “condotto” la legge di continuità del flusso di massa per poter eliminare v₂ nell’equazione (1). Si ottiene:

ρ Σ v₁ = ρ σ v_{2 (2)}

Eliminando il fattore comune ρ è possibile così dedurre dall’equazione (2) la velocità v₂ in funzione di v₁:

v₂ =^Σ/_σ v_{1 (3)}

Combinando la (1) con la (3) e risolvendo per v₁, si trova il risultato:

v₁ = -√2 g · √x/(Σ/σ)²-1 ₍₄₎

Il segno “meno” nella (4) è stato scelto, dopo aver estratto la radice quadrata, perché il vettore v ha verso contrario rispetto a quello dell’asse x da noi adottato come riferimento.

Osservando ora che Σ >> σ, possiamo affermare che:

(Σ/σ)² -1 ≅ Σ/σ

Dunque la (4) assume la forma più semplice:

v₁ = -(σ/Σ) · √2 g · √x

Ricordando che per definizione v₁ = dx/dt, otteniamo così la seguente equazione differenziale del 1° ordine a variabili separabili:

d_x/d_t -(σ/Σ)·√2 g · √x ₍₅₎