Ricerca operativa - Esercizi

Quesito 1

Dato il seguente problema di programmazione lineare:

max 4x₁+x₂

s.t.

• 2x₁+x₂ ≥ 4
• x₁+x₂ ≤ 15
• -5x₁+0x₂ ≤ 4
• x₁+3x₂ ≤ 5
• x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0

• a. Si disegni il dominio di ammissibilità;
• b. Si disegni sul grafico la funzione obiettivo e la direzione del gradiente;
• c. Si risolva graficamente il modello, individuando il vertice corrispondente alla soluzione ottima e i corrispondenti vincoli saturi;
• d. Si indichino gli eventuali vertici corrispondenti a soluzioni degeneri, specificando anche se sono ammissibili o meno;
• e. Si indichino tutte le soluzioni di base, ammissibili e non ammissibili, individuabili sul grafico o desumibili da esso, specificando la composizione della base;
• f. Si calcoli analiticamente la soluzione ottima, utilizzando uno dei metodi di simplesso noti;
• g. Si indichi sul grafico la successione dei vertici, non ammissibili ed ammissibili, toccati durante la ricerca della soluzione ottima.

Quesito 2

Con riferimento alla soluzione ottima determinata al quesito 1, si effettui l’analisi di stabilità in modo grafico ed analitico:

• Per il termine noto relativo al vincolo (1);
• Per il termine noto relativo al vincolo (2);
• Per il coefficiente di costo relativo alla variabile x₂.

Quesito 3

Con riferimento al modello di PL del quesito 1:

• a. Si risolva il modello matematico del suo problema duale;
• b. Si spieghino le operazioni effettuate per ottenerlo;
• c. Si determinino il valore delle variabili del problema duale all’ottimo.

Quesito 4

A partire dalla soluzione ottima individuata al quesito 1, si determini analiticamente la soluzione che minimizza la funzione obiettivo x₁+2x₂.

Quesito 5

Il progettista di una Cooperativa edilizia deve dimensionare l’acquisto di caldaie murali a gas metano per il riscaldamento di un complesso abitativo in fase di realizzazione.

La potenza termica complessivamente disponibile non deve essere inferiore a 500 KW, il budget a disposizione è pari a euro 30000, e sono disponibili sul mercato tre tipologie di caldaie murali:

Si formuli il problema di programmazione lineare corrispondente alla scelta di un insieme di caldaie che minimizzi il consumo complessivo orario di gas metano, nel rispetto di tutti i vincoli.

Quesito 6

a) Problema del trasporto

Si risolva il seguente problema del trasporto:

b) Soluzioni di base ammissibili

Si dimostri che, nel problema del trasporto, se i valori delle offerte e delle domande sono intere, anche le soluzioni di base ammissibili hanno valori interi.

Tempo massimo a disposizione 3 ore.

Rispondere ai quesiti, ed ai sottoquesiti, nel medesimo ordine in cui sono posti.

Scrivendo in modo chiaro.

Utilizzare fogli a quadretti, numerando i fogli e segnando cognome nome e matricola in alto a destra.