Rette sghembe

Rette sghembe, minima distanza tra rette, sfera di raggio tangente alle rette

Rette sghembe, minima distanza tra rette, sfera di raggio tangente alle rette

1) Date le rette:

r: { x + z = 0; y - 5t - 7 = 0 }

s: { x = 3t - 3; y = t; z = t + 2 }

a) Verificare che le rette r ed s sono sghembe.

b) Determinare la retta di minima distanza tra r ed s.

c) Determinare la sfera di raggio minimo tangente sia ad r che ad s.

Verifica delle rette sghembe

a) Determiniamo i vettori direttori delle rette r ed s. Essi sono (-1, 5, 1) ed (3, 1, 1), quindi le rette non sono parallele. Vediamo se hanno punti in comune considerando r ∩ s:

{ x = 3t - 3; y = t; z = t + 2 } ⇒ { 4t - 1 = 0; -4t - 17 = 0 } { x + z = 0; y - 5t - 7 = 0 }

Poiché il sistema è incompatibile, concludiamo che r ∩ s = ∅ e quindi le rette sono sghembe.

Retta di minima distanza

b) In equazioni parametriche si ha r: { x = t'; y = 5t' + 7 } da cui R(t' - 5t', 7 + t') è un generico punto della retta r mentre S(3t − 3, t, t + 2) è un generico punto della retta s.

La retta RS sarà di minima distanza se e solo se il vettore RS(3t - 3 + t', t'', 5t' − 7, t + 2 − t') risulterà ortogonale tanto ad v quanto ad s.

{ RS·v = 0; RS·s = 0 } { t' - 9t' - 10 = 0; -3t' + 11t' - 14 = 0 } (t' = 1)

Ossia R(1, 2, -1) ed S(0, 1, 3) e quindi la retta richiesta è:

RS: { x - 1 / -1; y - 2 / -1; z + 1 / 4 }

RS: { x = -t'' + 1; y = -t'' + 2; z = 4t'' - 1 }