Relatività generale e cosmologia, problemi svolti

Problemi svolti di fisica

Relatività generale e cosmologia

Aereo in picchiata e assenza di gravità. Buchi neri e rapporto di densità.

Problemi svolti di fisica: relatività generale e cosmologia

Aereo in picchiata e assenza di gravità. Buchi neri e rapporto di densità.

Aereo in picchiata e assenza di gravità

Un aereo scende in picchiata per far provare l'assenza di gravità ai suoi occupanti.

Calcola a quale accelerazione deve scendere l'aereo.

Spiega come si può realizzare tale condizione.

Per provare l'assenza di gravità nel sistema in caduta libera, l'astronauta deve sentire una forza totale nulla. Per cui la forza non inerziale deve essere pari al suo peso. In questo modo l'accelerazione deve essere pari a g = 9,81 m s^-2, ossia l’aereo deve essere in caduta libera. Ciò non significa necessariamente che l’aereo effettui una picchiata verticale.

Il pilota potrebbe lanciare l’aereo a grande velocità in una direzione leggermente inclinata verso l’alto e poi ridurre la spinta dei motori rendendola uguale e contraria alla resistenza aerodinamica generata dall'aria. In questo modo l’aereo e i suoi passeggeri si muoverebbero in caduta libera con la stessa accelerazione g, proprio come un proiettile lanciato. Ciò consentirebbe ai passeggeri di provare l’assenza (apparente) di gravità.

Buchi neri e rapporto di densità

Calcola il rapporto delle densità tra un buco nero con massa pari a 10 masse solari e la densità di un buco nero con massa doppia, cioè pari a 20 masse solari.

In un buco nero tutta la massa M è concentrata entro un raggio di Schwarzschild:

R_s = ^2GM/_c²

La densità di un buco nero è data dal rapporto fra la sua massa M e il suo volume V:

ρ = ^M/_V = ⁴/_{3 πR³} = ^M/₄ ^2GM/_c² = ^3c3/_32πG³M²

Il rapporto tra le densità vale pertanto

^ρ₁₀/_ρ20 = (^M₂₀/_M10)² = 4

Il buco nero con massa minore ha la densità maggiore.

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Stima del raggio di Schwarzschild e della densità

Fai una stima:

• Il raggio di Schwarzschild per un buco nero pari a 10⁶ masse solari
• La densità di massa in esso contenuta.

Applicando la formula:

R_s = ^{2G · 106M_☉}/_c² = ^{2(6,67·10-11)(106)(1,99·1030)}/_{(2,997·10⁸)²} = 2,95·10⁹ m

La densità: