Radicali in R, le condizioni di esistenza e la semplificazione di radicali algebrici mediante scomposizioni in fattori primi

Complementi di algebra

I radicali in R

Le condizioni di esistenza e la semplificazione di radicali algebrici mediante scomposizioni in fattori primi.

^{2x² - 2x - 24} √ _{(2x + 6)⁷(x - 4)⁵} ^{3x + 5 3x + 12} _{3x - 4 9x² - 24x + 16}

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I radicali in R

Le condizioni di esistenza e la semplificazione di radicali algebrici mediante scomposizioni in fattori primi.

Esercizio 1

⁴√((2x² - 2x - 24) / ((2x + 6)⁷ (x - 4)⁵))

x ≠ -3 ∧ x ≠ 4 : √(1 / (2³|x + 3|³(x - 4)⁴))

Scomponiamo in fattori primi:

⁴√((2x² - 2x - 24) / ((2x + 6)⁷ (x - 4)⁵)) = ⁴√(2(x² - x - 12) / ([2(x + 3)]⁷ (x - 4)⁵))

= ⁴√(2(x + 3)(x - 4) / 2⁷(x + 3)⁷(x - 4)⁵) = ⁴√(1 / 2⁶(x + 3)⁶(x - 4)⁴)

Determiniamo le condizioni di esistenza.

⁴√(1 / 2⁶(x + 3)⁶(x - 4)⁴) → C.E.: 1 / 2⁶(x + 3)⁶(x - 4)⁴ ≥ 0

1 ≥ 0 ∀ x ∈ R

2⁶(x + 3)⁶(x - 4)⁴ > 0

2⁶ > 0 → ∀ x ∈ R

(x + 3)⁶ > 0 → x + 3 ≠ 0 → x ≠ -3

(x - 4)⁴ > 0 → x - 4 ≠ 0 → x ≠ 4

C.E.: x ≠ -3 ∧ x ≠ 4.

Semplifichiamo:

⁴√(1 / 2⁶(x + 3)⁶(x - 4)⁴) = ⁴√(1 / 2³|x + 3|³(x - 4)⁴)