Quinta esercitazione aree baricentro e sezioni

Ex 1: calcolare _B, _B baricentro

_B = _x, _B = _y se l'area ha una simmetria il baricentro giace su quell'asse = 0 provare calcoli _x = ∫ y dA p co y = r si _d dA = r dr d∫ y dA = ∫ r _dr = [_h] _h [- cos_] = = _{= cos]} = [_] [ + 1 ] = = OK_I = ∫ y² dA sostituzione = ∫ r si [ = [ = h[S OK_I = [_] = [ = [ _I = _I = OK calcoli = OK ⇒ _x e _y sono Assi di d'inerzia calcolare ... ' baricentro uso Trasposizione :

Ex 1: calcolare _xG, _yG baricentro

_xG = _Sy / A _yG = _Sx / A

S_x = 0 provare calcoli

S_x = ∫_A y dA posso y = r sinθ dA = r dθ dr

= ∫₀^h r dr ⋅ ∫₀^π/2 sinθ dθ = [_y³/3]₀^h ∥ [-cosθ]₀^π/2 = h³[1+1] = 2/3 h³

A = [πr²]/2 = [πR²]/2

_yG = ²/₃ h³/[^π/2h²] = _2/3 ⋅ ₂/^π = ⁴/₃πh

Calcolo momenti rispetto al sistema _x, _y

calcolo momenti rispetto al sistema _x,_y

_Ix = ∫_A y² dA faccio sostituzioni: = ∫₀^h y² dxdy = ∫_A r² sin²θ drdθ = ∫₀^h r⁴ ⋅ ∫₀^π/2 sin²θ dθ

= [_x⁴/4]₀^h ∥ [-1/2 (cosθ) sinθcθ]₀^π/2 = [^h4/4 ⋅ π/2] = ^πh4/8

_Iy = ∫_A x² dA x = r cosθ faccio la sostituzione dA = r dθ dr

sostituendo _Iy = ^πh4/8

_Ixy = ∫_A xydxdy x = r cosθ y = r sinθ dA = r dθ dr

sostituendo _Ixy = ∅ ➡ _x̄ e _ȳ sono Assi principali d'inerzia

Calcolare i momenti rispetto x, y, 'baricentrici'

calcolare i momenti rispetto x,y,' baricentrici' uso regola Trasposizione :

I_x = I_x̅ - S_y² A = R₁⁵ / 8 - (4 / 3π)^1/2 · 1/2πR² = (π / 8 - 8 / 9π)R₂⁵

I_y = I_y̅ - S_x²A ma SΔx = 0 => I_y = I_y̅

I_xy = 0 sono Assi centrali

Calcolare _x̅G, _y̅G e momenti

• 1) Calcolare x̅_G, y̅_G
• 2) Calcolare I_x, I_y, I_polare

si può fare uguale come prima

x = rcosθ y = rsinθ dA = r dr dθ coordinate

Σ_y = ∫ x dA = ∫ r cosθ rdr dθ = ∫ r² / 2πr²

I_x = ∫A y² dA = ∫A r² sin²θ rdr dθ = ∫_R2 r₁³ (sin²θ dθ = risolve

I_x = π(R₁⁴ - R₂⁴) / 4

I_y imposto uguale = π(R₁⁴ - R₂⁴) / 4

I_xy = 0

I_polare = ∫_A (x² + y²) dA usando sempre sostituzione

I_polare = (R₁⁴ - R₂⁴) / 2 = I_x + I_y

Sezione a C

posso considerare come un sistema di aree concentrate

calcolare _xe, _ye

faccio la tabella dove 1, 2, 3 sono rettangoli

_xe = Σ _{xi Ai} / Σ _{Ai ye} = Σ _{yi Ai} / Σ _Ai

Tabella rettangoli

Tabella rettangoli

dove _xi etc. sono le coordinate dei baricentri rettangoli

• 1: _xe = ((0.5 x 10) + (3 x 4) + (5 x 18)) / (10 + 4 + 18) ≈ 3,615 mm
• 2, 3: _ye = --- ≈ 3,3125 mm

Calcolare _Ix, _Iy, _Ixy rispetto baricentro

Calcolare _{Ix Iy Ixy} rispetto baricentro

_Ix = _Ix1 + (_ye - _y1)² _A1 + ... _Ix1 è il momento del corpo 1 rispetto al suo asse baricentrico + corpo 2 e corpo 3

_Ix = ¹⁰³/₁₂ + (3,3125 - 5)² x 10 + ... + ⁴³/₁₂ + (3,3125 - 9,5)² x 4 + + ²³/12 x (3,3125 - 1)² x 18 = 367,5417 mm⁴

E così via per _Iy = _Igy1 + _Igy2 + _Igy3 = 290,1667 mm⁴

_Ixy = -146,25 mm⁴

θ = 37,6° in senso antiorario