Prova di elettrotecnica 10/2/2020 A esercizio 2 circuito RLC

Analisi del circuito

R = 2Ω L = 0,9 H C = 47μF i_o(t) = { 0 A   t < 0 0,9 A   t > 0 V_C(t) = ?

Condizioni iniziali

t < 0 sìa V_C(0⁻) = I_L(0⁻) = 0 perché t → ∞

R_I = R + R = 4Ω R₁ // R = ^{4 ⋅ 2}/_{4 + 2} = ⁸/₆ = ⁴/₃ Ω = R_A = 1,33 Ω

V_A = R_A I_L = R_A I_L = 1,2 V

I_L(∞) = 0,9 A V_A = V_R = V_I

V_A = V_gf

Ricalcolo dei parametri

R = 2Ω L = 0,9 H C = 47μF i_o(t) = 0 A   t < 0 0,9 A   t > 0 V_C(t) = ?

t < 0 sia V_C(0^-) = I_L(0^-) = 0 perché i_L = 0 A t → ∞

R = R + R = 4Ω R_L/R = 4 * 2 / 4 + 2 = 4/3Ω = R_A = 1,33Ω

V_A = R_A I_L = 1,2 V I_L(∞) = 0,9 A

V_A = V_R = V_L

V_A = V_sw

LKT per ottenere V_c

V_c - V_gm + V_R* = 0 => V_c(oo) = V_gm - V_R* = (2 - 0.6)6V t > 0

Metodo del circuito resistivo associato e sovrapposizione degli effetti

C' V_L = V_C I'_C = 0

C'' I''_C = - I_C

V_C = V_A - R_A I_A - R_AL I_L = - 1,33 I_L

CʺʺR_A-R+RI_C V_L i₀(t) => R_A V_A = R_A I₀

I_{C   ʺʺ} = 0.9 V_{L   ʺʺ} - V_gm + V_R = 0 => V_{L   ʺʺ} = V_gm - V_R = 1.2 - 0.6 = 0.6

⎧ I_{LC   ʺʹʹʹ} = I_{IC   ʺʹʹʹ} + I_ʺʺ + I_Cʺ = 0 - I_I + 0.9 = - L V_L⎨

V_{L   V+VLʶʺ} + V_{L   ʺʹʹʹʹʹ} = V_C - 1.33 I_ʺʺ + 0.6 = L I_L⎩

V_II^. = I_C   C = 0 - 2.17 (26.59 I_R + 19 142.34 => I_L^. = V_L   š = 1.11 V_VL - 148 I_ʸ̛.

Equazione omogenea associata

Determina l’eq omogenea associata con il metodo degli autovalori.

A = | 0 -21276,59 4,11 -1,48 | ; \(\lambda I\) = ( \(\lambda\) 0 0 \(\lambda\) ) \(\lambda I\) - A = B = ( \(\lambda + 21276,59\) -4,11 \(\lambda + 1,48\) )

det(B) = 0 \(\Rightarrow\) \(\lambda \cdot (\lambda + 1,48) - (-4,11) \cdot (-21276,59) = 0\)

\(\Rightarrow \lambda^2 + 1,48\lambda + 23617,01 = 0\)

\(\lambda_1 = -0,74 + 153,68j\) -0,74 = \(\alpha\)

\(\lambda_2 = -0,74 - 153,68j\) (153,68 = \(\beta\))

\(\Rightarrow V_c(t) = k_1 e^{\alpha t} \cos(\beta t) + k_2 e^{\alpha t} \sin(\beta t) + V_c(\infty)\)