Progetto allo SLU. Trave di fondazione infinitamente rigida su suolo alla Winkler

Seconda Università degli Studi di Napoli, Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in: Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio

a.a. 2008/2009

Corso di Tecnica delle costruzioni 1 (6 CFU)

Prof. Ing. Pasquale Malangone

Elaborato numerico 4

Trave di fondazione infinitamente rigida su suolo alla Winkler

• Diagrammi v(x), r(x)
• Caratteristiche della sollecitazione M(x), T(x)
• Progetto allo S.L.U. delle armature a flessione e a taglio

L’allieva: Perrotta Daniela

matr: 835/165

Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2008/2009

1. Trave di fondazione infinitamente rigida su suolo alla Winkler

Diagrammi v(x), r(x), M(x) e T(x)

M M M

A G H

N N N

A G H

0 A G P H

Dati

B = 1,20 m larghezza della trave di fondazione

tK = 1000 t/m³ costante di sottofondo del terreno

tL = 4,70m; L /4 = 1,175m lunghezze parziali della trave

m mL = 11,75 m lunghezza totale della trave

M = M = M = 2844,8 daN momenti indotti dalle forze orizzontali (telaio shear-type)

A G H

N = N = 18117,74 daN sforzi normali indotti dai carichi verticali (telaio a nodi fissi)

A H

N = 43664,52 daN sforzo normale indotto dai carichi verticali (telaio a nodi fissi)

G

Calcolo del risultante R degli sforzi verticali

Equilibrio alla traslazione verticale: R = N + N + N = 79900 daN

A G H

·d ·d ·d

R·d = N + N + N + M + M + M

Equilibrio alla rotazione rispetto ad O: A 1 G 2 H 3 A G H

Da cui si ricava d = 5,98m, la distanza del punto di applicazione di R dal punto O.

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Il baricentro G della superficie di contatto trave-terreno, dista da O di una quantità pari ad L/2, cioè 5,875 m. Il risultante R è posto all’interno del nocciolo centrale d’inerzia, essendo la sua eccentricità rispetto a G minore di L/6, questo significa che l’intera sezione a contatto con il terreno è tutta compressa. Essendo tuttavia R uno sforzo normale eccentrico, il diagramma degli abbassamenti v(x), risulta trapezoidale, quindi gli spostamenti variano con legge lineare, perché la trave di fondazione viene considerata rigida e poggiata su suolo elastico alla Winkler.

β·v(x)

In base alla relazione r(x)= al diagramma degli abbassamenti v(x) dovrà corrispondere un diagramma delle reazioni del terreno r(x) sulla trave, dello stesso tipo.

β

Il parametro è detto parametro meccanico del terreno, ed è funzione della larghezza Bt della trave di fondazione e della costante Kt, attraverso la seguente relazione lineare:

β = B · Kt t

2

β = 1200 dunque è: t/m².

Il diagramma delle reazioni r(x) del terreno può essere visto come somma di un diagramma rettangolare avente risultante R applicato a distanza L/2 dal punto P, e di un diagramma triangolare di risultante R applicato a distanza L/3 dal punto P. Le risultanti dei due diagrammi valgono quindi:

t = ⋅R r L

r 0

[ ]

( )1 = −R r r L

t P 0

2

Imponendo l’equilibrio alla traslazione verticale e quello alla rotazione rispetto al punto G, delle azioni agenti sulla trave di fondazione, si ottengono i valori di queste due risultanti:

+ − − − =

Equilibrio alla traslazione verticale: R R N N N 0

r t A G H

 

L L

+ + − + − − =

M M M N Lm N Lm R 0

Equilibrio alla rotazione intorno a G:

 

A G H A H

 

2 3

t

Risolvendo le due equazioni si ricava:

= = R 75542 daN 75 . 54t

r

= = R 4358 daN 4 . 36t

t

Calcoliamo ora le reazioni del terreno in corrispondenza dei punti: O, A, G, H e P partendo da O e da P.

 R = ⋅ = =

 rR r L r 6 . 43t / m

 

r 0 0 L

⇒

 

[ ]

( )1 = − 2 R R r r L

 

= + =

tt P 0 r r 7 . 17 t / m

2

 P 0

 L

Attraverso semplici proporzioni è possibile determinare i valori delle reazioni anche in corrispondenza degli altri punti.

2

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Diagramma delle reazioni del terreno

O A G P H x

= 6.43 = 6.50 = 6.80 = 7.10 = 7.17

0 A G H r P

r r r r

R t

R r

r(x) (t/m)

( ) ( ) ( )

− = − =

 

r r : L r r : Lm 4 6.50 / r t m

P 0 A 0 A

 

( ) ( ) ( )

− = − =

⇒

r r : L r r : L / 2 r 6.80t / m

 

P 0 G 0 G

[ ]

( ) ( ) ( )

 

− = − − = =

r r : L r r : L Lm / 4 r 7.10t / m r

 P 0 H 0 H max r

σ = ≈ 2

max 0.59 daN / cm²

La massima tensione di compressione si ha nel punto H: t Bt

Noti i valori delle reazioni, è possibile calcolare anche gli abbassamenti v(x):

β = =

 v r mm/ 5 . 34

o o

 β = = v r mm/ 5 . 42

 A A β

 = = v r mm/ 5 . 67

G G

 β = = v r mm/ 5 . 92

 H H

 β = = v r mm/ 5 . 97

 P P

Diagramma degli abbassamenti della trave

O A G P H x

= 5.34 = 5.42 = 5.67 = 5.92 = 5.97

0 A G H P

v v v v v

v(x) (mm)

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Definite tutte le azioni si possono ricavare i valori del taglio e del momento nei 5 punti caratteristici della trave di fondazione sopra visti, attraverso considerazioni di equilibrio.

M M M

A G H

N N N

A G H

O A G P H

= 6.43 = 6.50 = 6.80 = 7.10 = 7.17

0 A G H r P

r r r r

R t

R r

M = M = M = 2,84 t m

A G H

N = N = 18.11 t

A H

N = 43.66 t

G

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Tratto O-A

A O

TRATTO O-A:

T = 0 T M

O AS AS

M = 0 T O M

r T0 A

Lm = ⋅ = R r 7 . 55t

r 1 0 4

R R

r1 t1

 

( )1 Lm = − = R r r 0 . 04t

 



t 1 A 0



2 4

= + = T R R 7 . 59t

AS r 1 t 1

     

2Lm Lm Lm

= ⋅ − ⋅ − ⋅ =

     

M T R R . 4 . 45t

AS AS r 1 t 1

     4 8 3 4

Nodo A

= M·M A

2.84 t m

A

= N 18.11 t N

A A

= T 7.59 t

As

M T T A M

AS As Ad Ad

= ·M 4.45 t m

As

= − = T N T -10.52 t

Ad A As

= + = ·M M M 7.29 t m

Ad As A

Tratto A-G

TRATTO A-G:

A G

M T T M

Ad Ad GS GS

r A

= ·M 7.29 t m r

Ad G