Problemi su triangoli simili con Pitagora

Complementi di matematica

Proporzionalità e similitudine

Esercizi svolti

Similitudine tra circonferenze

Problemi su triangoli simili con Pitagora

Risolvendo il problema del segmento AP

Abbiamo una circonferenza di raggio 5,5 cm. PD = 3 cm e PC = 6 cm. Quanto è lungo il segmento AP?

Dati:

• r = 5,5 cm
• PD = 3 cm
• PC = 6 cm

Siccome O appartiene al segmento AB, questo è un diametro. Dunque:

AP + PB = 2 · r = 2 · 5,5 cm = 11 cm.

Chiamiamo AP = x, quindi PB = 11 − x.

Per il teorema delle corde sappiamo che: AP ⋅ PB = PC ⋅ PD = 6 · 3 = 18.

Quindi:

x ⋅ (11 − x) = 18 → x² − 11x + 18 = 0 → x = ^{11 ± √121 − 4 ⋅ 18}/₂ → x₁ = 2 cm, x₂ = 9 cm.

L’unico risultato accettabile è x = 2 cm poiché AP < PB. Dunque otteniamo:

AP = 2 cm, PB = 9 cm.

Dimostrazione di similitudine tra triangoli

ABC è un triangolo. &hat;A = 120°, &hat;C = 30° e BC = 3√3 cm.

Traccia una circonferenza avente per centro A e raggio 1 cm che interseca i lati del triangolo in D ed E.

Dimostra che ABC e ADE sono simili

Ipotesi:

• &hat;A = 120°
• &hat;C = 30°
• BC = 3√3 cm
• r = 1 cm

Tesi: ABC ~ ADE

Dimostrazione

Disegniamo il triangolo ABC. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, possiamo ricavare la misura di &hat;B:

&hat;B = 180° - (&hat;A + &hat;C) = 180° - (120° + 30°) = 30°.

Il triangolo è quindi isoscele. Dunque l'altezza rispetto a BC e la bisettrice di &hat;A coincidono. Tracciamo AH, altezza e bisettrice di &hat;A.