Problema di Cauchy

Calcolo II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 2 — 28 ottobre 2010

© – 1) Problemi di Cauchy

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:

(( 00 0 000 0 22 2− y (x) + x y (x) + x [y (x)] = 0y (x) = [y (x)] (1 x ) 00 32 −1y(0) = 0 , y (0) =y(0) = 0 , y (0) = 1−

© – 2) Problema di Cauchy

Risolvere il seguente problema di Cauchy (suggerimento: si ponga y(x) = z(x) ):2( 0 1 3−y (x) + y(x) ln(x) y (x) = 0xy(1) = 1

§ – 3) Funzione sen(kx)

Sia k un numero intero. Allora la funzione sen(kx) risolve il problema differenziale 00 2y (x) + k y(x) = 0 , y(0) = y(π) = 0.

Usando questo fatto, dimostrare che πZ ∀h 6sen(kx) sen(hx) dx = 0 , = k .0 0

§ – 4) Soluzione periodica

Si consideri il problema di Cauchy y § (x) = f (y(x)), y(0) = y , con f funzione lipschitziana da R0≤in tale che f (y) y 0 per ogni y in Sia y(x; y ) l’unica soluzione di tale problema. 1) Dimostrare R R. 02che [y(x; y )] decresce al crescere di x (suggerimento: si moltiplichi l’equazione per y(x; y )).

2) Detta 0 0→T : [−1, 1] [−1, 1] l’applicazione che a y associa y(1; y ), dimostrare che T porta [−1, 1] in sé.

3) Dando 0 0per buono il fatto che T è continua, dimostrare che esiste almeno un punto fisso di T usando il teorema diesistenza degli zeri; dedurne che esiste almeno un valore y per il quale la corrispondente soluzione y(x; y )0 0è periodica di periodo 1.

4) Trovare una soluzione periodica dell’equazione (suggerimento: calcolare f (0)).

© – 5) Problemi di Cauchy e grafico

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy e disegnare il grafico della soluzione:

x + 1( ( (00 0 02 2 y (x) =y (x) = y (x) x y (x) = y(x) + x y (x) = x(x + y(x)) y(x) + 1y(0) = 1 y(0) = 3 y(0) = 4.y(0) = 2

© – 6) Teorema di esistenza e unicità locale

Dato il problema di Cauchy ( 0 |y(x) −y (x) = 1|y(0) = α verificare che le ipotesi del Teorema di esistenza e unicità locale sono soddisfatte su ogni rettangolo, quindi risolvere esplicitamente per ogni valore del parametro α. Quali sono le soluzioni costanti?

© − −– 7) Equazione differenziale

Data l’equazione y (x) 3y (x) 2y(x) = e , trovare tutte le sue soluzioni della forma y(x) = 00 0 x2 x(ax + bx + c)e . Scrivere poi tutte le soluzioni dell’equazione.

§ – 8) Equazione differenziale

Sia data l’equazione differenziale 0 2y (x) = sin(x) sin(y (x)).

1) Verificare che le ipotesi del Teorema di esistenza e unicità locale sono soddisfatte su ogni rettangolo del 2piano R .

2) Trovare tutte le soluzioni costanti; dimostrare poi che tutte le soluzioni dell’equazione si pos