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Polinomio caratteristico di una matrice, matrice associata a endomorfismo, spazio vettoriale di due vettori distinti Polinomio caratteristico di una matrice, matrice associata a endomorfismo, spazio vettoriale di due vettori distinti

1a) Polinomio caratteristico e rango

Sia p(λ) il polinomio caratteristico di una matrice A ∈ R4 × 4 e ρ(A) il suo rango. Allora

  • Lo scalare 0 è una radice di p(λ) se e solo se ρ(A) < 4
  • Se A è diagonalizzabile allora p(λ) ha 4 radici distinte
  • P(λ) può avere grado 3
  • Il termine noto di p(λ) è la traccia di A
  • ρ(A) = 4

Se lo scalare 0 è una radice di p(λ) allora det(A - λI) = det A = 0 ossia ρ(A) < 4.

1b) Matrice associata a un endomorfismo

Sia A la matrice associata ad un endomorfismo f : V → V rispetto a una base fissata e sia λ0 ∈ R un suo autovalore. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

  • Nulla si può dire
  • λ0 è una radice del polinomio caratteristico di A.
  • Se λ0 = 0 allora f non è iniettivo.
  • Se A è una matrice scalare allora l'autospazio relativo a λ0 è V.
  • λ0 è soluzione dell'equazione det(A - λI) = 0

Tutte le affermazioni esplicite sono vere dunque l'unica falsa è: "nulla si può dire".

2a) Forma quadratica in uno spazio vettoriale reale

In uno spazio vettoriale reale V, siano v1, v2 due vettori distinti. Una forma quadratica Q : V → R tale che q(v1) < 0 e q(v2) > 0

  • È indefinita
  • È semidefinita positiva
  • È definita negativa
  • È semidefinita negativa
  • È definita positiva

Per definizione la forma è indefinita.

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Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
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