Piccole masse su una guida circolare

Piccole masse su una guida circolare

Conservazione del momento angolare

Su un'ampia guida circolare orizzontale senza attrito, di raggio R, stanno due piccole masse m ed M libere di scorrere nella guida. Esse sono unite da una cordicella e tra di esse c'è una molla compressa (di massa trascurabile) che non è fissata né ad m né ad M.

1. Se si rompe la cordicella la molla si allunga e lancia le due masse in direzioni opposte; le palline collidono quando si incontrano. Dove avverrà l'urto?
2. Se l'energia potenziale iniziale della molla era U₀, quanto tempo passa tra la rottura del filo e l'urto delle palline?
3. Supponendo che l'urto sia perfettamente elastico e centrale dove si urteranno le palline una seconda volta?

a) Urto delle masse

Se si rompe la cordicella, la molla si allarga e lancia le due masse in direzioni opposte; non intervengono forze esterne: si ha conservazione della quantità di moto. Poiché m ed M sono inizialmente fermi si ha che la quantità di moto è inizialmente nulla e si conserva tale.

Quando si è rotta la cordicella, la massa M parte con velocità lineare v₁ e la massa m con velocità v₂ in senso opposto, tali che la quantità di moto del sistema sia nulla. Si ha Mv₁ - mv₂ = 0 da cui v₂ = M/m v₁.

Le due masse collidono quando dopo un certo tempo t, la massa m ha descritto un angolo Θ e la massa M un angolo (2π - Θ). Si ha t = R Θ/v₂ = (2π - Θ)/v₁ R da cui Θ/v₁ = 2π - Θ/v₁ = (M/m)v₁ => Θ = 2πM/(M+m) è l'angolo descritto dalla massa m prima dell'urto.

b) Tempo tra la rottura del filo e l'urto

Abbiamo già visto che v₁ = (m/M)v₂. Applichiamo ora il principio di conservazione dell’energia alla situazione che stiamo considerando. Si ha, K_o + U_o = K + U (*) dove K_o = 0 è l'energia cinetica del sistema prima che venga rotta la cordicella. U_o è l'energia potenziale iniziale della molla, essendo l’unica forza in gioco quella elastica. U = 0 è l'energia potenziale della molla, subito dopo che le masse sono state lanciate in direzioni opposte con velocità rispettive v₁ e v₂.

In questa situazione l'energia cinetica è: K = 1/2 Mv₂² + 1/2 mv₁² o anche per il legame tra v₁ e v₂ già istituito: K = 1/2 M (m/M)²v₂² + 1/2 mv₂², cioè K = 1/2 (m²/M) v₂² + 1/2 mv₂².

Dalla (*) si ha U_o = 1/2 (m²/M) v₂² + 1/2 mv₂²; da cui v₂ = √(2m U_o / m² + mM) = √(2m U_o / m(M + m)).

Il tempo t che passa tra la rottura del filo e l’urto delle masse è: t = RΘ/v₂ = 2π MR / (M + m) v₂ = 2π (MR) / (M + m) √(2m U_o / m(M + m)) da cui t = √(2π² Mm R² / (M + m) U_o)