Particella lungo l'asse x

Particella lungo l’asse x

Moto in una dimensione

Particella lungo l’asse x

Moto in una dimensione

La posizione di una particella che si muove lungo l'asse x dipende dal tempo secondo l'equazione x=at²+bt dove x è in metri e t è in secondi.

• Quali devono essere le unità e le dimensioni di a e b? Supponiamo che a e b abbiano i valori 3 e 1 rispettivamente.
• Quale distanza percorre la particella nei primi 4 secondi?
• Qual è il suo spostamento nei primi 4 secondi?
• Qual è la velocità della particella alla fine di ognuno dei primi 4 secondi?
• Qual è l'accelerazione della particella alla fine di ognuno dei primi 4 secondi?

All'istante iniziale (t=0) x=0. La derivata di x=at²-bt³, fatta rispetto al tempo, è la velocità v=v=dx/dt=2at-3bt². La derivata successiva è l'accelerazione a=dv/dt=d²x/dt²=2a-6bt.

La velocità si annulla per t=0, che non ci interessa e per t=2a/3b=2/3²/3×1=2/3=2/3³/1=2 secondi. Inoltre per t<2 s ha v>0 mentre per t>2 s si ha v<0.

Cioè per i primi due secondi la particella si muove nel senso positivo delle x percorrendo x=3(2)²-1(2)³=4 m.

Nei successivi due secondi la particella si muove nel senso negativo delle x; alla fine dei 4 secondi lo spostamento è rispetto all'origine: x=3(4)²-1(4)³=16 m. La particella percorre 4 m in senso positivo, poi torna nell'origine (4 m) e percorre 16 m in senso negativo; la distanza percorsa dalla particella nei primi 4 secondi è allora 4+4+16=24 m.

Abbiamo visto che la velocità in funzione del tempo è v=6t-3t². Alla fine di ognuno dei primi 4 secondi la velocità è: