Paniere con risposte aperte - Misure meccaniche e termiche (2021/2022)

Misure meccaniche e termiche

Arnesano Marco

Docente: Nel riuscendo ad inserire i simboli e le lettere greche da tastiera, le andrò a sostituire con altre variabili (specificando il tutto). Il pedice si esegue premendo ctrl + 0 (zero).

Lezione 004

Descrivere e riportare un grafico nel dominio del tempo di un segnale periodico, di un segnale transitorio e di un segnale casuale

1) Segnale periodico

Un singolare segnale deterministico è il segnale periodico. Quest’ultimo si mostra sempre uguale per ogni intervallo di tempo T=1 (dove f indica la frequenza) che viene detto “periodo”. Un segnale periodico può essere, ad esempio, un segnale sinusoidale che può essere rappresentato attraverso la seguente espressione analitica:

Poniamo omega = a; alfa = b

x(t)= A*sen(at+b) = A*sen(2πft+b).

È formata dai principali parametri quali:

• Il periodo T [s] in cui la funzione prende tutti i suoi possibili valori;
• La frequenza f= 1/T [Hz] che rappresenta il numero di periodi al secondo;
• Il valore massimo “A” che viene assunto dalla grandezza (Ampiezza dell’onda sinusoidale);
• Il valore efficace RMS (Root Mean Square)(per scrivere il pedice premere ctrl+0) A = A/(2*(1/2)); ef RMS
• La pulsazione a = 2πf [rad/s] che rappresenta la velocità angolare del vettore che corrisponde alla grandezza sinusoidale;
• L’angolo di fase b[rad] che rappresenta l’angolo iniziale di fase all’istante t = ft.

2) Segnale transitorio

Il segnale transitorio è un segnale che ha una durata limitata di tempo che diventa nullo in tutti momenti di tempo successivi. Un esempio di segnale transitorio può essere un segnale esponenziale o un’armonica di tipo sweep;

3) Segnale casuale

Un segnale casuale o stocastico o aleatorio è un segnale che non trova alcuna definizione analitica ma può avere un certo riscontro attraverso la statistica/probabilità, per ciò che concerne la sua evoluzione, partendo dalla sua evoluzione passata. Un esempio di segnale aleatorio definito stazionario (ovvero le cui caratteristiche statistiche non subiscono alcuna variazione nel tempo) è dato dal rumore provocato dalla pioggia.

Lezione 005

Descrivere la funzione di autocorrelazione e disegnarne il grafico

La funzione di autocorrelazione R(τ) di una variabile è definita come:

(PEDICE SI SCRIVE PREMENDO ctrl+0)

R(x) = lim 1/T (integrale tra 0 e T (q (t) q (t + x) dt) ) T->00 i i

La quale rappresenta la correlazione del segnale con se stesso al variare del tempo. Pertanto, il segnale viene moltiplicato con se stesso ma traslato nel tempo di x secondi. Per x=0 la funzione di autocorrelazione assume il valore del valore quadratico medio del segnale.

Lezione 007

Descrivere il fenomeno del campionamento del segnale, il teorema del campionamento e il problema dell'aliasing che si genera se il teorema non viene rispettato

Il fenomeno del campionamento consiste nel convertire un segnale continuo nel tempo, in un segnale discreto, valutandone l'ampiezza a intervalli di tempo regolari. Il teorema del campionamento dei segnali stabilisce che, dato un segnale analogico x(t) la cui banda di frequenze sia limitata dalla frequenza f_MAX, e dato N come numero di campionamenti, il segnale x(t) può essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni x(nΔt) presi a frequenza f_s =1/ Δt se f_s >2.56 f_MAX.

Se non viene rispettato tale teorema, cioè si ha un sottocampionamento del segnale analogico nel dominio del tempo, nel dominio delle frequenze si ha la produzione di frequenze non proprie del segnale originario (alias). Se si procede poi con la ricostruzione del segnale a partire da campioni ricavati in tale modo errato, componenti di alta frequenza del segnale originale appariranno come componenti di bassa frequenza nel segnale ricostruito, generando così il fenomeno di aliasing.

Descrivere la differenza tra Digital Fourier Transform e Fast Fourier Transform

La trasformata di Fourier permette il passaggio dal dominio del tempo a quello della frequenza. Essa ci permette di scomporre il segnale originale in termini di seno e coseno i quali possono essere rappresentati in forma compatta dalla funzione esponenziale complessa (formula di Eulero):

Poniamo omega = a

X(f) = F{x(t)} = (integrale da -∞ a +∞(x(t)e^(-jat) dt) )

Nella pratica la trasformata di Fourier deve essere implementata in modo discreto (DFT). Con tale tipo di trasformata per ottenere N campioni di frequenza a partire da N campioni sono necessari N² moltiplicazioni di numeri complessi. Per facilitare il calcolo di tale trasformata, viene utilizzato l’algoritmo di Fast Fourier Transform (FFT), che utilizza N*log₂(N) moltiplicazioni. La condizione necessaria per l’utilizzo di tale tipo di algoritmo, N deve essere una potenza di 2.

Per esempio con un numero di campioni pari a 1024 (2¹⁰), nell’algoritmo DFT si devono effettuare 1024*1024 operazioni mentre in quello FFT 1024*10, riducendo il tempo di calcolo di circa 100 volte.

Lezione 008

Descrivere la procedura per la stima dell'incertezza di tipo A mediante misure ripetute e dell'incertezza estesa

Sapendo che l’indice di incertezza della misura è la deviazione standard, possiamo determinare la deviazione standard della media come:

sigma = σ(m) = σ / (n^(1/2))

constatando che l’incertezza diminuisce con l’aumentare del numero di dati esaminati, ovvero tanto più il campione (n) si avvicina all’universo (N). È possibile quindi ridurre l’incertezza “casuale” aumentando il numero di misure n: ciò non influenzerà eventuali cause di incertezza di tipo sistematico.

Lezione 009

Descrivere la procedura di taratura statica per la determinazione della curva di taratura mediante la regressione ai minimi quadrati e definire le caratteristiche che permette di determinare oltre i parametri che rappresentano la retta di taratura

La taratura statica viene eseguita ponendo lo strumento in un ambiente controllato in cui viene variato solo un ingresso in maniera quasi statica e gli altri mantenuti costanti. Per effettuare tale taratura si misurano sperimentalmente i valori di ingresso e di uscita per N valori di ingresso diversi e tali coppie di valori vengono riportate in un diagramma cartesiano con in ascissa q_I e in ordinata q_O. Se la funzione che approssima meglio la distribuzione di valori (q_I, q_O) è una RETTA, si ricava la curva di taratura dalla retta dei minimi quadrati q_O = mq_I + b. Determinata minimizzando la somma degli scarti quadratici:

Poniamo delta = z(sommatoria da i-1 a N (z ²) )

Utilizzando la legge determinata si elimina l’errore sistematico caratteristico dello strumento di misura. Una volta ricavati i valori dei coefficienti m (coefficiente angolare) e b (intercetta o termine noto), si possono definire anche l’incertezza di approssimazione di tale retta rispetto ai valori misurati: s (deriva di sensibilità) e s_m b (deriva di zero). Inoltre possiamo determinare l’incertezza di misura, ovvero nel misurare q_I utilizzando lo strumento e la retta ai minimi quadrati che lega l’uscita all’ingresso.

Lezione 010

Descrivere le principali caratteristiche statiche; riportare schemi e grafici per rendere più chiare le definizioni

Le principali caratteristiche statiche di uno strumento di misura sono le seguenti:

• Campo di misura: Intervallo comprendente i valori di misura che si possono assegnare (min, MAX) mediante un dispositivo per misurazione.
• Portata o fondo scala: Limite superiore del campo di misura.
• Sensibilità: È la pendenza della curva di taratura che può variare da punto a punto all’interno del campo di misura.
• Risoluzione: È la più piccola variazione misurabile della grandezza di ingresso.
• Ripetibilità: Attitudine di uno strumento a fornire valori di lettura poco differenti tra loro, in letture consecutive eseguite indipendentemente sulla stessa misura.
• Stabilità: Attitudine di uno strumento a fornire valori di lettura differenti tra loro, in letture eseguite, indipendentemente, sullo stesso misurando, in un intervallo di tempo definito.
• Isteresi: Si ha quando la curva di taratura ottenuta per valori crescenti dell’ingresso è diversa da quella ottenuta per valori decrescenti a causa di irreversibilità interne allo strumento che possono essere attriti meccanici o dissipazioni di energia di natura elettrica o magnetica.

Lezione 011

Descrivere e disegnare alcune curve di taratura che diverse da quelle lineari, per esempio bilineare, parabolica o sigmoide

1) La Curva di taratura bilineare si ha quando la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q_I, q_O) conseguita durante la taratura statica non è approssimabile attraverso una singola retta ricavata con la tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma sono, comunque, necessarie 2 rette interpolanti diverse nei 2 intervalli consecutivi. Così facendo si afferma che la curva di taratura è bilineare, e la sua distribuzione fa rilevare un’incertezza di linearità a percentuale della lettura costante (A).

2) La curva di taratura si ha se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q_I, q_O) ottenuta durante la taratura statica non è approssimabile attraverso una retta ottenuta per mezzo della tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma è indispensabile una polinomiale (che nel caso di tale distribuzione viene rappresentata con una parabolica). Tale distribuzione presenta un’incertezza di linearità a percentuale del fondo scala (B).

3) La Curva di taratura sigmoide si definisce tale se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q_I, q_O) ottenuta durante la taratura statica è approssimabile attraverso una retta, ottenuta dalla tecnica della regressione ai minimi quadrati, soltanto nell’intervallo centrale. Questa distribuzione presenta un’incertezza di linearità combinata A+B.

Lezione 012

Riportare l'equazione del modello generale di uno strumento di misura e descrivere il significato di funzione di risposta in frequenza

L’equazione del modello generale di uno strumento di misura, è un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti:

a (dⁿ q ) / (dtⁿ) + a (d^n-1 q ) / (dt^n-1) + ... + a q = b (d^m q ) / (dt^m)_{n 0 n-1 0 0 m i}

+ b (d^m-1 q ) / (dt^m-1) + ... + b q_m-1 i ₀ i

dove q_I e q_O sono funzioni del tempo e a e b sono costanti reali caratteristiche del sistema. Noto l’ingresso, q_I, l’uscita q_O è data dalla soluzione dell’equazione differenziale. Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo, esprimibile anche in termini complessi come:

poniamo omega = w e phi = f

q_I = A sin(wt) = A e^(jwt)

è del tipo:

q_O = A sin(wt + f ) = A e^(j(wt + f))

cioè con la stessa frequenza dell'ingresso, ma diversa ampiezza e fase.

Lezione 013

Descrivere il procedimento per ricavare la funzione di risposta in frequenza di un sensore del I ordine e riportarne il grafico in termini di ampiezza e fase

Se lo strumento viene sottoposto ad un ingresso canonico di tipo sinusoidale la sua funzione di risposta in frequenza si ottiene sostituendo l’operatore D con (poniamo omega = a) ia nella funzione di trasferimento operazionale. La funzione di risposta in frequenza può essere rappresentata in termini di ampiezza adimensionalizzata rispetto a K e di fase in funzione della frequenza adimensionalizzata (poniamo omega = a e tau = b).

Lezione 014

Descrivere uno strumento a tempo morto e la sua risposta a un ingresso a gradino e a rampa. Riportare la sua funzione di risposta in frequenza

Uno strumento a tempo morto è uno strumento in cui l’uscita riproduce fedelmente l’ingresso (ovviamente amplificato di un fattore K) a meno di un ritardo temporale. Ciò avviene se sono trascurabili gli effetti dissipativi interni allo strumento. L’uscita dello strumento è dunque esprimibile in termini analitici mediante la seguente equazione:

(poniamo tau = a)

q_O = K(q_I -a_d)

Risposta a gradino: se si pone in ingresso q_I un segnale di tipo gradino si avrà che l’uscita q_O sarà un gradino di forma identica all’ingresso, ma ovviamente di ampiezza amplificata di un fattore K, in ritardo rispetto allo stesso di un tempo a_d.

Risposta a rampa: se si pone in ingresso q_I un segnale di tipo rampa, ovvero un segnale esprimibile mediante una retta di pendenza m = Kq_I, si avrà che l’uscita q_O sarà una retta, ovviamente sempre amplificata di un fattore K, di medesima pendenza m e ritardata di un tempo a_d.

La funzione di risposta in frequ...