Numeri complessi

Numeri complessi

Equazione con radici terze e seconde

Numeri complessi

Equazione con radici terze e seconde

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione

[z₂+1]³-1+i√3·[z²-z_z] = 0

Sono soluzioni dell'equazione data le soluzioni dell'equazione

(z+1)³-i+i√3 = 0 (1)

E quelle dell'equazione

z²-z_z = 0 (2)

Risolvo la (1) abbiamo che

(z+i)³-i√3

Ponendo w: z+i, risolvo l'equazione

w³ = -1-i√3

Determiniamo modulo e argomento

p = √-1²+√3² = √[√3]²+1² = √1+√3 = √4→p=2

Θ=arctan ( -1/√3 ) + ณะ = -π/6 + π = 5π/6

Scriviamo il numero complesso in forma trigonometrica

-1-i√3 = 2 cos (5/6 π) + i sen (5/6 π)

Ora eseguendo i relativi calcoli otteniamo le radici cubiche:

w₁ = √2 [cos (5/18 π) + i sen (5/18 π)]

w₂ = √2 [cos (7 19/18 π) + i sen (14/18 π)]

w₃ = √2 [cos (29/18 π) + i sen (28/18 π)]

Poiché

z = w - i

Si hanno che (e soluzioni dell'equazione (1) sono

z₁ = w₁ - i,         z₂ = w₂ - i,         z₃ = w₃ - i

Risolvo ora la (2) e si ha:

z² - z_z = 0

Con la sostituzione         z = x+iy e z_z = x-iy

(x+iy)² · (x+iy) (x-iy) = 0

x² + 2xyi - y² - (x² - xiy + ixy - i²y²) = 0