Numeri complessi

Numeri complessi

Equazione con radici terze e seconde

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione

[(z+i)³ - i + √3] · [z² - 2z̄] = 0

Sono soluzioni dell'equazione data le soluzioni dell'equazione

(z+i)³ - i + √3 = 0    (1)

e quelle dell'equazione

z² - 2z̄ = 0    (2)

Risoluzione dell'equazione (1)

Risolvo la (1) abbiamo che

(z+i)³ = i - √3

Ponendo w = z+i, risolvo l'equazione

w³ = i - √3

Determino modulo e argomento

ρ = √(√3)² + (1)² = √3+1 = √4 → ρ = 2

θ = arctan(-1/√3) + π = -π/6 + π = 5π/6

Scriviamo il numero complesso in forma trigonometrica

i - √3 = 2 cos(5π/6) + i sen(5π/6)

Ora eseguendo i relativi calcoli otteniamo le radici cubiche:

w₁ = ³√2 [cos(5/18π) + i sen(5/18π)]

w₂ = ³√2 [cos(17/18π) + i sen(17/18π)]

w₃ = ³√2 [cos(29/18π) + i sen(29/18π)]

Poiché

z = w - i

si hanno che le soluzioni dell'equazione (1) sono

z₁ = w₁ - i,   z₂ = w₂ - i,   z₃ = w₃ - i

Risoluzione dell'equazione (2)

Risolvo ora la (2) e si ha:

z² - 2z̄ = 0

Con la sostituzione z = x + iy e z̄ = x - iy

(x + iy)² - (x + iy)(x - iy) = 0

x² + 2ixy + i²y² - (x² - ixy + ixy - i²y²) = 0