Esercitazione IX
Serena Arima e Federico Polito
Facoltà di Economia - LUISS Guido Carli
serena.arima@uniroma1.it
federico.polito@uniroma1.it
In questa esercitazione ci occuperemo di:
- Teorema di Bayes;
- Distribuzione binomiale.
1 Esercizio 1
Un esame del sangue riconosce una certa malattia nel 99% dei casi quando essa è in atto. Tuttavia, l’esame fornisce un falso positivo nel 2% dei pazienti. Supponiamo che 0.5% della popolazione abbia la malattia. Qual è la probabilità che una persona scelta a caso abbia effettivamente la malattia se il test è positivo?
Soluzione
Indichiamo rispettivamente con D ed E gli eventi
D = un soggetto estratto casualmente ha la malattia
E = il test è positivo
Il testo ci dice che il test è affidabile al 99%, ossia fornisce un esito positivo quando il soggetto è effettivamente malato. Ciò significa che
P(E|D) = 0.99
Tuttavia, l’esame fornisce un falso positivo nel 2% dei casi, ossia
P(E|Dc) = 0.02
Sapendo che P(D) = 0.005 vogliamo determinare P(D|E), e possiamo utilizzare il Teorema di Bayes come segue:
P(D|E) = P(E|D)P(D) / [P(E|D)P(D) + P(E|Dc)P(Dc)] = (0.99 · 0.005) / (0.99 · 0.005 + 0.02 · 0.995) = 0.199
Risulta quindi che una persona scelta a caso che ottiene risultato positivo al test ha una probabilità del 20% di avere effettivamente la malattia.
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