Metodi matematici - Foglio 5 - Esercizi risolti serie di Fourier: convergenza ed identità di Parseval

Foglio 5 serie di Fourier - convergenza nel senso dell'energia e identità di Parseval

1) Detta f la funzione 2π-periodica dispari definita da condizione

f(t) = A(t² - πt²) per 0 ≤ t ≤ π

• Scrivere la serie di Fourier di f.
• Utilizzando l'identità di Parseval, calcolare la somma della serie numerica Σ_n=1^∞ 1/n⁶.

a) f è integrabile in serie di Fourier?

A è dispari, dunque |f|² è pari.

∫_-π^π |f|² dt = ∫₀^π (At² - A(π-₂))² dt = 2 ∫₀^π (t³ - tπt)² dt = 2 ∫₀^π (t⁶ + t²π⁴ - 2t⁴π) dt == 2 [t⁷/7]₀^π + [t³π⁴/3]₀^π - 2 [t⁵π/5]₀^π = 2 [π⁷/7 + π⁵/3 - 2 π⁵/5] = 2 [(1795 π⁷ - 27)/105-π⁵] quindi f integrabile.

Poiché f è dispari, lo sviluppo in serie comprende solo coefficienti b_n.

AN = 1^∞ b_n sin(nt)

b_n = 2/π ∫₀^π f(t) sin(nt) dt = 2/n [f(3u) + (π-u) sin(nt) dt == 2/π [t³ - t²] cos(nt)/n + 2/π [t² - t] sin(nt) dt (UEG. per pari)= 2/π (3t² - π²)] - A = m3π /n3 cos(nt)/n + 2/π sin(nt) dt/πcos(nt) = 12[= cos nt]/n3 - 1]= 12 /n3 a=Σ 2/n³ 12/π³]' (1 - cos nt)a=⇒Σ = 2/π Σ 12/π³(1-cos nt)

Foglio 5 serie di Fourier (convergenza nel senso dell'energia e identità di Parseval)

1) Detto f la funzione 2π - periodica dispari, definita in [0, π) da

f(t) = A(t² - πt²) per 0 ≤ t

• Scrivere la serie di Fourier di f.
• Utilizzando l'identità di Parseval calcolare la somma della serie numerica ∑_n=1^∞ 1/n⁴.

f è integrabile in serie di Fourier?

f è dispari, unico |f|² è pari.

∫_-π^π |f|² dt = 2∫₀^π (A(t² - πt)²) dt = 2∫₀^π (A² (t³ - t^-2)²) dt = 2∫₀^π (A² (t⁶ + t⁴ π⁴ - 2t⁴ π²)) dt= 2[π⁷/7] - [2π⁵/5] + [π³/3] = 2/(π⁷/7) - 2/(7π⁵) + 2/(5π³) + 2/(3π) + ≥ 1= 8.2865 - 2.5 = 5.7865 = 2.57.135 - 27 + π ⁶ = 5.60 punto.

Quindi f(t) è integrabile.

Poiché f(t) è dispari, lo sviluppo dovrà comprendere solo coefficienti a₀ = 0, a_n = 0.

f = ∑_n=1^∞ b_n sin(nt)

b_n = (2/π) ∫₀^π f(t) sin(nt) dt = 2/π ∫₀^π (3t² + 2tπ) sin(nt) dt= 2/π ∫₀^π (t³ - t²) cos(nt) dt = (2/n) [3(cos(nt) - cos(nt/2))]= 12/π [2/π sin(nt)] = 12/n⁴ ∫(1/n) sin(nt)= 1/n³ (1/n) sin(nt) dt= (1/n²) (1/n) = 12/n⁴ cos(nt) = 12/n⁶ - 1/n²

a => ∫ S = ∑_n=2^∞ 2/n³ (a_n sin(nt)∫^π_−πf(t)dt = 2^a0_π2 ∫^2π₀ e^−3tdt ∫ⁿ₁ = ∫ f(t) cos(nt)dt f(t) = e^−3t per |t| a0 = ... a2 = ... b2 = ... a0 = ... a2 = ... a2 = ... b2 = ... a2 = ... a2 = ... a12 = ... b12 = ... f è sviluppabile.

a0 = ... a1 = ...a1 = ... a2 = ... b2 = ... a2 = ... b2 = ... a2 = ... a2 = ... a2 = ...a2 = ... a2 = ... a2 = ... a2 = ... a2 = ... a3 = ... a3 = ... b3 = ... b3 = ... b3 = ... ∑¹_∞

f è sviluppabile?

f è nulla f è nulla )nullaf è nullaf è nullan è nulla- lim ∫_-λ^λf(λ)sin(nt)dt = ∫_-λ^λe^-3tsin(nt)dt = 1₇λ^-n(cos(λn)-1) = = ∫_-λ^λe^-3tn       n           2λ   n   n            n                     7                     η7|            n   n            ∞|1∫           n|_n   n   e³ⁿ - (cos(λn)), λ|            1∫           n      n            nη     η                 η           π|_n |    n  (e³ⁿ-e³ⁿ)-1)     1             2n ∫_-λn^λe^3tcos(nt)e^-tdtn1|     cos(kn)(e^3x - e^3x)∫            η       η        1    cos(kn)t     ∫_-π^πe^3xcos(nt)e^-ћtdt             na) = Σ= ¹a(e^3x - e^3x) + ⁹|  n²     ∞  a_m  a_m|6(n⊂!)  ∫  ∫     n₁                          ^∞ ∫_-λ^λf