Metodi Matematici - Esercitazione

Metodi Matematici per l'Ingegneria

Prof. Cristina Trombetti

7/5/2012

Cognome ______________________________

Matricola ______________________________

1. Calcolare il seguente integrale, facendo uso del teorema dei residui:

   • ∫_−∞^+∞   (1 + sen x) / (x(4x² + 4x + 2)²)   dx.

2. Determinare l'antitrasformata di Laplace della funzione:

   • X(s) = (2 − s e^−s) / ((s² − 1)(s² + s + 1)²),   Re(s) > 1.

3. Risolvere, utilizzando la trasformata di Laplace, il seguente problema di Cauchy in [0, +∞[:

   • { y'' − 2y' + 2y = t sen t u(t − π)

     y(0) = 1,   y'(0) = 0. }

4. Determinare la successione definita per ricorrenza dalla legge:

   • { x(n + 1) − x(n) = a_n,   n ≥ 0

     x(0) = 0, }

   • dove

     • a_n = { −1   se n è pari,
     • jⁿ   se n è dispari. }

5. Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2, della funzione:

   • x₀(t) = e^−jπ(u(t + 1) − u(t − 1)).