Maxwell, la corrente di spostamento e studio di funzione

Esercitazioni per l'esame di stato

Proposta tipo per l'elaborato delle materie d'indirizzo

Problema di matematica e fisica per Liceo Scientifico

Problema 1

Il grafico in figura rappresenta l'andamento della funzione \( f(x) = x^2 + 4 \).

1. Disegna l'andamento \( f'(x) \), probabile del grafico della funzione senza eseguire lo studio di funzione. Basati sui dati deducibili dal grafico e motiva le scelte effettuate.

2. Dimostra mediante la definizione di derivata che la derivata di una funzione derivabile e pari è dispari.

3. Puoi dire la stessa cosa delle primitive di una funzione pari?

Problema 2

Un condensatore piano ha le armature di forma circolare e di raggio. Supponi di poter trascurare gli effetti al bordo.

1. Spiega l'ipotesi di Maxwell delle correnti di spostamento.

2. Determina l'espressione del campo magnetico indotto \( B(r) \) a distanza \( r \) dall'asse del condensatore se l'intensità del campo elettrico tra le armature varia secondo la legge \( E(t) = E_0 \sin(\omega t) \).

3. Cosa cambia nell'espressione trovata se \( r > R \)?

Problema 1 dettagliato

1. Dedurre il grafico di \( f'(x) \) da quello di \( f(x) \).

   La funzione data è pari ed è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, il suo codominio è limitato superiormente da 2, essendo il massimo valore assunto, e inferiormente tende a zero. Il grafico di \( f(x) \) presenta infatti un asintoto orizzontale.

   Ricordando il significato geometrico della derivata prima possiamo dire che: \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = 0\). Pertanto anche la funzione ha per asintoto orizzontale l'asse delle ascisse di equazione \( y = 0 \).

   Esaminando la monotonia di \( f(x) \) deduciamo il segno della funzione derivata prima:

   • \( f'(x) > 0 \) in \( (-\infty, 0) \) ⟹ è crescente in \( (-\infty, 0) \)
   • \( f'(x) < 0 \) in \( (0, +\infty) \) ⟹ è decrescente in \( (0, +\infty) \)
   • \( f'(0) = 0 \) ⟹ ha un massimo in \( x=0 \)

   Dalla concavità della funzione possiamo dedurre il segno di \( f''(x) \).

   Ricordiamo che è la derivata prima della funzione derivata, questo ci consente di stabilire la monotonia di \( f'(x) \):

   • \( f''(x) > 0 \) per \( x < -\sqrt{3}/2 \) o \( x > \sqrt{3}/2 \) ⟹ è crescente
   • \( f''(x) < 0 \) per \( -\sqrt{3}/2 < x < \sqrt{3}/2 \) ⟹ è decrescente
   • \( f'(x) \) ha due punti stazionari dove \( f''(x) = 0 \), massimo in \( x = \pm\sqrt{3}/2 \)

2. Dimostra che la derivata di una funzione derivabile e pari è dispari.