Matrici reali sottospazi vettoriali

Matrici reali, sottospazi vettoriali, forma bilineare simmetrica, rotazione e traslazione

Matrici reali, sottospazi vettoriali, forma bilineare simmetrica, rotazione e traslazione.

1) Matrici reali

Siano A e B due matrici reali di tipo 2 × 3 e 3 × 2 rispettivamente. Allora:

• Det(BA) = 0
• Det(AB) = det(BA)
• Det(AB) = det A · det B
• Det(AB) non esiste perché AB non è quadrata
• Nulla si può dire

Infatti, date due matrici A e B che possano essere moltiplicate tra loro, si ha che rg(BA) = min(rg(B), rg(A)). Nel nostro caso rg(BA) ≤ 2 perché B ha due colonne ed A ha due righe. Quindi la matrice BA è quadrata d'ordine 3 ma ha rango al più 2, da cui segue det(BA) = 0.

2) Sottospazi vettoriali

Siano U e W due sottospazi vettoriali di R⁵ con dim U = 3 e dim W = 3. Allora:

• Dim(U ∩ W) ≥ 1
• Dim(U ∩ W) = 1
• Dim(U ∩ W) ≤ 1
• Dim(U ∩ W) = 0
• Nulla si può dire

Essendo sia U che W sottospazi di R⁵, si ha che dim(U + W) ≤ 5. Utilizzando la formula di Grassmann si ha poi dim(U ∩ W) = dim U + dim W - dim(U + W) = 6 - dim(U + W) ≥ 1.

3) Forma bilineare simmetrica

Sia β una forma bilineare simmetrica semidefinita positiva su R⁵. Quali tra i seguenti possono essere gli indici di β²?

• I₊ = 2, i₀ = 3, i_- = 0
• I₊ = 4, i₀ = 2, i_- = 0
• I₊ = 4, i₀ = 2, i_- = 1
• I₊ = 3, i₀ = 2, i_- = 0
• I₊ = 3, i₀ = 1, i_- = 2

Osserviamo che la forma è semidefinita allora i₀ ≠ 0 e poiché è positiva i_- = 0, inoltre sappiamo che la somma degli indici deve essere 5.