L'orbita della cometa

L'orbita della cometa Gravitazione L'orbita della cometa Gravitazione

Una cometa descrive intorno al Sole un’orbita ellittica avente asse maggiore 2a = 36 U.A. ed eccentricità ε = 0,99. Determinare le velocità v_p e v_a della cometa, rispettivamente al perielio ed all’afelio e il suo periodo di rivoluzione T, sapendo che l’accelerazione di gravità sulla superficie del Sole è g_s = 273,7 m/s² e che il raggio solare è R_S = 6,96×10⁵ Km (si supponga il sistema Sole-cometa isolato).

(Figura 9.6)

Distanze al perielio e all’afelio

Indicate con r_p ed r_a le distanze della cometa dal Sole, rispettivamente al perielio ed all’afelio, determiniamo dapprima la relazione che intercorre tra r_p, r_a ed ε (si veda in proposito la Figura 9.6). Premesso che ovviamente deve essere:

r_p + r_a = 2 a (1)

Ricordiamo che l’eccentricità di un’ellisse si definisce come ε = c/a ove a è il semiasse maggiore e c la semi-distanza focale. Dalla Figura 9.6, essendo S (posizione del Sole) un fuoco dell’orbita ed O il suo centro, si deduce che SO = c. Per semplici ragioni geometriche, valgono le seguenti relazioni:

r_p = a - c
r_a = a + c

Mediante rapporto membro a membro delle due precedenti uguaglianze si ottiene:

^r_a/_rp = ^{a + c}/_{a - c}

Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro della precedente per a e ricordando la definizione di ε, si ricava facilmente:

r_a = ^1+ε/_1-ε r_p (2)

Risolvendo per r_p ed r_a il sistema di primo grado formato dalle equazioni (1) e (2), si ottiene:

{r_a = a (1 + ε)
r_p = a (1 - ε)}

Essendo a = 18 U.A. ed ε = 0,99 ne consegue che r_a = 35,82 U.A. ed r_p = 0,18 U.A.

Velocità della cometa

Per calcolare le velocità della cometa al perielio ed all’afelio, osserviamo che i vettori v_p e v_a sono rispettivamente perpendicolari ai raggi vettori r_p ed r_a; pertanto i momenti angolari della cometa nei punti P ed A dell’orbita sono rispettivamente:

L_P = m r_p v_p
L_A = m r_a v_a

Con m si è indicata ovviamente la massa della cometa. Poiché possiamo considerare il sistema Sole-Cometa isolato, vale il già noto principio di conservazione del momento angolare per il quale deve essere L_P = L_A. Si ottiene così la relazione:

v_a = ^r_p/_ra v_p (3)

Ricordando poi che le forze gravitazionali sono conservative, è lecito applicare il principio di conservazione dell’energia la quale, in ogni punto dell’orbita, è espressa dalla somma dell’energia cinetica della cometa con la sua corrispondente energia potenziale. Nel nostro caso, l’energia totale al perielio deve essere uguale a quella riscontrata all’afelio. Dunque, detta M_s la massa del Sole, m quella della cometa e G la costante di gravitazione universale, possiamo scrivere l’equazione:

¹/₂ m v_p² - G ^{M_s m}/_rp = ¹/₂ m v_a² - G ^{M_s m}/_ra

Utilizzando la (1) e sostituendo in essa g con g_s (accelerazione di gravità superficiale del Sole) ed R_o con R_s (raggio del Sole), la precedente equazione, dopo aver semplificato m e con qualche passaggio algebrico, diventa:

v_p² - v_a² = 2 g_S R_S² (1/ r_p - 1/ r_a) (4)

Unendo insieme la (3) e la (4) otteniamo il sistema nelle incognite v_p e v_a:

{v_p² - v_a² = 2 g_S R_S² (1/ r_p - 1/ r_a)
v_a = r_p / r_a v_p}

che risolto per sostituzione fornisce i risultati:

{v_p = √ 2 g_S R_S² r_a / r_p (r_a + r_p)
v_a² = (r_p / r_a) × 2 g_S R_S² r_a / r_p (r_a + r_p)}

Utilizzando le uguaglianze (1) e (2), estraendo la radice quadrata e semplificando opportunamente, possiamo concludere, in forma più semplice, in funzione dei dati forniti dal testo:

{v_p = R_S √ (g_S (1+ε) / a (1-ε)) (5)
v_a = R_S √ (g_S (1-ε) / a (1+ε)) (6)

Sostituendo i valori numerici e ponendo attenzione alle unità di misura adoperate (conviene usare il sistema S.I.), si deduce:

v_p = 98583 m/s ≡ 98,85 Km/s
v_a = 496,75 m/s ≡ 0,497 Km/s

Periodo di rivoluzione della cometa

Per calcolare infine il periodo di rivoluzione della cometa, è sufficiente applicare la 3ª legge di Keplero:

T² / a³ = 4π² / G M₅

da cui, ponendo al solito G M₅ = gs R_S², si ricava facilmente: