Limiti delle successioni

Limiti delle successioni Limiti delle successioni

Verifichiamo che la successione a_n = n² - 1 diverge positivamente.

Dobbiamo verificare che lim_{n → +∞} (n² - 1) = +∞.

Fissato ad arbitrio un numero positivo M, dobbiamo trovare un corrispondente numero positivo p_M per cui risulti: n² - 1 > M,     ∀n > p_M.

Risolviamo la disequazione: n² > M + 1; poiché i due membri sono positivi, possiamo estrarre la radice quadrata: n > √M + 1.

Se poniamo p_M = √M + 1, abbiamo trovato che ∀n > p_M risulta n² - 1 > M, pertanto la successione data diverge positivamente.

Verifichiamo che la successione a_n = 3 - n diverge negativamente.

Occorre verificare che lim_{n → +∞} (3 - n) = -∞.

Fissato un numero positivo M, dobbiamo trovare un corrispondente numero positivo p_M per cui risulti: 3 - n < - M, ∀n > p_M.

Risolviamo la disequazione: -3 + n > M → n > M + 3.

Se poniamo p_M = M + 3, abbiamo trovato che ∀n > p_M risulta 3 - n < - M, pertanto la successione data diverge negativamente.