L'astronomo incosciente

L'astronomo incosciente

Lavoro ed Energia

L’astronomo incosciente

Lavoro ed Energia

Un astronomo temerario si trova sulla cima della cupola semisferica (raggio R = 8 m) del suo osservatorio. Ad un certo istante egli scivola verso il basso (attrito trascurabile). Calcolare a quale angolo θ_s (Figura 4.6) i suoi piedi si staccano dalla cupola. A che distanza x dalla parete dell’osservatorio i suoi assistenti dovranno disporre il telo di salvataggio affinché l’astronomo cadendo non si faccia male (altezza totale dell’edificio 2R + R = 24 m; g = 10 m/s² )?

Quando l’astronomo è sulla cima della cupola, la sua energia è solo potenziale. Fissando ora il livello zero dell’energia potenziale nel punto H in corrispondenza dell’angolo di “stacco” θ_s, potremo affermare che l’energia iniziale dell’astronomo m g Δh viene trasformata totalmente in energia cinetica (½) m v² quando i suoi piedi si staccano dalla cupola. Osserviamo ora (vedi Figura 4.6) che Δh = BH = R − HC e HC = R cosθ_s, dunque Δh = R(1 − cosθ_s). Applicando il principio di conservazione dell’energia possiamo così scrivere:

m g R (1 − cosθ_s) = (½) m v²

(1)

La domanda che ora dobbiamo porci è la seguente: “Qual’è la condizione fisica che consente il distacco dalla cupola?” L’unica forza che agisce sull’astronomo è il suo peso mg che può essere decomposto, per un generico angolo θ_s, nelle componenti radiale (di modulo m g cosθ_s) e tangenziale (di modulo m g senθ_s). Poichè il moto è di tipo circolare, in corrispondenza dell’angolo θ_s, la componente radiale del peso dovrà uguagliare la forza centrifuga (m v²/R (o essere ad essa inferiore). Pertanto la condizione di distacco è la seguente:

mg cos θ_s = mv²    R

(2)

Ricavando il valore di v^-2 dalla (2) e sostituendolo nella (1) , dopo aver eliminato membro a membro la massa m, otteniamo:

g R (1 – cosθ_s) = (½) g R cosθ_s

che con qualche passaggio e semplificazione fornisce:

cosθ_s = 2/3   θ_s≅ 48°,2

Per stabilire ora il punto di caduta dell’astronomo, è sufficiente utilizzare quanto già conosciamo sul moto dei proiettili. Fissato allora il sistema di riferimento cartesiano xOy con origine alla base dell’edificio in corrispondenza della proiezione sul suolo del punto A di stacco (vedi figura. 4.6), osserviamo subito che la velocità v dell’astronomo [tangenziale alla cupola e deducibile direttamente dalla (2)], ha due componenti relative agli assi di riferimento: v_y = v cos(90°- θ_s) = v senθ_s, diretta verticalmente verso il basso e v_x = v sen(90°- θ_s) = v cosθ_s, diretta orizzontalmente da sinistra a destra. Pertanto le equazioni parametriche della traiettoria sono le seguenti:

{

    x = v_x t

    y = y₀ – v_y t – (½) g t²

    (3)

essendo:   y₀ = 3R – Δh = 3R – R (1 – cosθ_s) = (8/3)R = (64/3) m; v_x = cosθ_s (R g cosθ_s)^1/2 ≅ 4.9 m/s   e  v_y = senθ_s  (R g cosθ_s)^1/2 ≅ 5,4 m/s.

L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il parametro t dalle (3):