L'astronomo incosciente

L'astronomo incosciente

Lavoro ed energia

Un astronomo temerario si trova sulla cima della cupola semisferica (raggio R = 8 m) del suo osservatorio. Ad un certo istante egli scivola verso il basso (attrito trascurabile). Calcolare a quale angolo θ_s (Figura 4.6) i suoi piedi si staccano dalla cupola. A che distanza x dalla parete dell'osservatorio i suoi assistenti dovranno disporre il telo di salvataggio affinché l'astronomo cadendo non si faccia male (altezza totale dell'edificio 2R + R = 24 m; g = 10 m/s²)?

Conservazione dell'energia

Quando l'astronomo è sulla cima della cupola, la sua energia è solo potenziale. Fissando ora il livello zero dell'energia potenziale nel punto H in corrispondenza dell'angolo di "stacco" θ_s, potremo affermare che l'energia iniziale dell'astronomo m g Δh viene trasformata totalmente in energia cinetica (1/2) m v² quando i suoi piedi si staccano dalla cupola.

Osserviamo ora (vedi Figura 4.6) che Δh = BH = R − HC e HC = R cosθ_s, dunque Δh = R(1 − cosθ_s). Applicando il principio di conservazione dell'energia possiamo così scrivere:

m g R (1 − cosθ_s) = (1/2) m v²

Condizione di distacco

La domanda che ora dobbiamo porci è la seguente: "Qual è la condizione fisica che consente il distacco dalla cupola"? L'unica forza che agisce sull'astronomo è il suo peso mg che può essere scomposto, per un generico angolo theta, nelle componenti radiale (di modulo m g cos theta) e tangenziale (di modulo m g sen theta).

Poiché il moto è di tipo circolare, in corrispondenza dell'angolo theta_s la componente radiale del peso dovrà eguagliare la forza centrifuga (m v²)/R (o essere ad essa inferiore). Pertanto la condizione di distacco è la seguente:

m g cos theta_s = m v²/R

Ricavando il valore di v² dalla (2) e sostituendolo nella (1), dopo aver eliminato membro a membro la massa m, otteniamo:

g R (1 - cos theta_s) = (1/2) g R cos theta_s

che con qualche passaggio e semplificazione fornisce:

cos theta_s = 2/3 theta_s = 48,2

Punto di caduta

Per stabilire ora il punto di caduta dell'astronomo, è sufficiente utilizzare quanto già conosciamo sul moto dei proiettili. Fissato allora il sistema di riferimento cartesiano xOy con origine alla base dell'edificio in corrispondenza della proiezione sul suolo del punto A di stacco (vedi figura 4.6), osserviamo subito che la velocità v dell'astronomo [tangenziale alla cupola e deducibile direttamente dalla (2)], ha due componenti relative agli assi di riferimento: v_y = v cos(90 - theta_s) = v sen theta_s diretta verticalmente verso il basso e v_x = v sen(90 - theta_s) = v cos theta_s diretta orizzontalmente da sinistra a destra.

Pertanto le equazioni parametriche della traiettoria sono le seguenti:

x = v_x t

y = y₀ - v_y t - (1/2) g t²

essendo: y₀ = 3R - Delta h = 3R - R (1 - cos theta_s) = (8/3)R = (64/3) m;

v_x = cos theta_s (R g cos theta_s)^1/2 = 4,9 m/s e v_y = sen theta_s (R g cos theta_s)^1/2 = 5,4 m/s.

L'equazione della traiettoria si ottiene eliminando il parametro t dalle (3):