Lamina piana

Lamina piana

Dinamica dei moti rotatori

Lamina piana

Dinamica dei moti rotatori

a) Dimostrare che la somma dei momenti di inerzia di una lamina piana rispetto a due qualsiasi assi perpendicolari tra loro giacenti sul piano del corpo, è uguale al momento d'inerzia della lamina rispetto ad un asse che passa per il loro punto di intersezione ed è perpendicolare al piano del corpo.

b) Applicare questo risultato ad un disco circolare per trovare il momento d'inerzia rispetto ad un diametro.

a) Siano x e y gli assi tra loro perpendicolari nel piano della lamina rispetto a cui consideriamo i momenti di inerzia sia J_x e J_y: ora J_x=∫_A x²dm mentre J_y=∫_A y²dm per cui J₀=J_x+J_y=∫_A (x²dm + y²dm)=∫_A (x²+y²)dm=∫_A r²dm dove r è la distanza dall'origine di una generica particella di massa dm.

Quindi J₀=∫_A r²dm è il momento d’inerzia rispetto all’asse passante per l’origine (intersezione dell’asse x e dell’asse y) e perpendicolare al piano della lamina. Con questo abbiamo dimostrato l’asserto a).

b) Sia ρ, se ρ è la densità superficiale della lamina, J₀=∫_A r²dm = ∫_A r²ρ dA. Se dA è l’area della corona circolare di lunghezza dr si ha: dA=2πr dr da cui per simmetria: