La sonda spaziale verso Marte

La sonda spaziale verso Marte”

Gravitazione

La sonda spaziale verso Marte

Gravitazione

Una sonda spaziale, diretta su Marte, viene inserita dal razzo vettore in un'orbita ellittica che ha come perielio il punto di lancio O dell'orbita terrestre e come afelio il punto M dell'orbita marziana (Figura 9.8). Immaginando che, in prima approssimazione, le orbite dei due pianeti siano circolari e che il moto della Terra, di Marte e della sonda abbiano il medesimo verso, determinare quale dovrebbe essere, al momento del lancio, la posizione M₀ del pianeta Marte affinché esso possa incontrare la sonda proprio nel punto M del suo afelio. Quale sarà la posizione della Terra O' nell'istante del “rendez-vous”?

Nota: Si conoscono i seguenti dati numerici:

1. raggio orbita terrestre           R_T = 1 U.A.
2. raggio orbita marziana          R_M = 1,5237 U.A.
3. periodo di rivoluzione della Terra     T₀ = 1 yr (yr = anno terrestre)
4. periodo di rivoluzione di Marte        T_M = 1,881 yr

(Figura 9.8)

Per raggiungere l’afelio M, la sonda impiega metà del suo periodo di rivoluzione T, dovendo percorrere esattamente mezza orbita. Detto T_M il periodo di rivoluzione di Marte ed indicato con k un numero positivo tale che 0 < k < 1, il pianeta e la sonda si incontreranno se si verifica la condizione:

k T_M = ¹/₂ T     (1)

I due periodi che compaiono nella (1) possono essere dedotti dalla 3ª legge di Keplero mediante l’equazione (7) del problema 9.6 osservando che, per Marte, a = R_M, mentre per la sonda, a = (R_T + R_M)/2 perché l’asse 2a della sua orbita è esattamente la somma dei raggi orbitali della Terra e di Marte. Dopo queste considerazioni, detto R_S il raggio del Sole e g_S l’accelerazione di gravità sulla sua superficie, la (1) si modifica nella seguente:

k ^{2 π}/_RS √^R_M3/_gS = 1/2 ^{2 π}/_RS √^{(R_T + R_M)3}/_{8 gS}

Dopo qualche passaggio algebrico ed opportune semplificazioni, ricaviamo:

k = ¹/_{4 √2} √ ^(R_T)/(_RM) ³    (2)

Il valore di k fornito dalla (2) rappresenta la frazione di periodo t / T_M che il pianeta Marte deve compiere per incontrare la sonda nel punto M. Indicando con θ l’angolo al centro dell’orbita marziana descritto dal pianeta a partire dal momento del lancio della sonda fino al suo arrivo in M, in base alle leggi del moto circolare uniforme, possiamo scrivere:

θ/t = ^{2 π}/_TM    (3)

Nell’equazione (3) è ovviamente t = k T_M per cui otterremo:

θ = 2 π k    (4)

In termini numerici si trova così: