La scala doppia

La scala doppia

Statica

La scala doppia

Statica

Una scala a due rami, ciascuno dei quali lungo l, è appoggiata in A e B su di un piano orizzontale di attrito trascurabile. I due rami della scala, che formano tra loro un angolo 2θ = 60°, sono sostenuti alla distanza AE = BF = l/2 da una sbarretta rigida EF. Un uomo di peso Mg = 80 KgP si trova fermo su uno dei rami della scala in un punto D tale che AD = (3/4)l. Sapendo che la scala è di peso trascurabile, determinare le forze di reazione F_A ed F_B sul pavimento e la tensione T sulla sbarretta di sostegno. La sezione piana della scala è rappresentata schematicamente nella Figura 8.7.

Esaminiamo separatamente le condizioni di equilibrio sui due rami della scala, scrivendo le equazioni che si riferiscono alle forze ed ai momenti, per il calcolo dei quali, scegliamo come centro C (vedi Figura 8.7). Si osservi che nel punto C agiscono le forze di coppia F_V ed F_C (forze interne al sistema).

T - F_C = 0

F_A + F_V - Mg = 0

M _{g 4} sen θ + T ₂ cos θ - F_A ℓ sen θ = 0

F_C - T = 0

F_B - F_V = 0

F_B ℓ sen θ - T ₂ cos θ = 0

Sommandendo membro a membro la (3) e la (6), possiamo eliminare la tensione T ottenendo:

M _{g 4} sen θ - F_A ℓ senθ + F_B ℓ sen θ = 0

Semplificando il fattore comune ℓ sen θ 0, si trova:

₁₄ M g - F_A + F_B = 0

Combinando la (5) con la (2) è possibile eliminare F_v ricavando:

F_A + F_B - M g = 0

Sommandendo membro a membro la (7) e la (8) ed eliminando F_A possiamo isolare F_B:

2 F_B + ₁₄ M g - M g = 0

Pertanto:

F_B = ₃₈ M g

Sostituendo il valore di F_B espresso dalla (9), indifferentemente nella (7) o nella (8), deduciamo pure: