La resistenza dell'aria al moto dei corpi

La resistenza dell'aria al moto dei corpi

Dinamica del punto materiale

La resistenza dell'aria al moto dei corpi

Dinamica del punto materiale

La resistenza dell'aria al moto dei corpi in caduta libera dipende da molti fattori, quali le dimensioni e la forma del corpo, la densità e la temperatura dell'aria e la velocità del corpo nell'aria. Una comoda ipotesi, solo approssimativamente vera, è che la forza resistente f_r sia proporzionale alla velocità e orientata in senso opposto, cioè f_r = -Kv dove K è una costante indipendente dalla velocità.

• A) Dimostrare che, per la seconda legge di Newton: mg - Kv = ma oppure mg - K dv/dt = m d²y/dt²
• B) Dimostrare che l'accelerazione del corpo cessa quando questo ha raggiunto una velocità v_T = mg/K chiamata velocità terminale.
• C) Dimostrare, sostituendo v nell'equazione di moto della parte (a), che la velocità varia nel tempo secondo la legge v = v_T(1 - e^-Kt/m) e darne la rappresentazione grafica.
• D) Rappresentare qualitativamente le curve di y e di a in funzione di t per questo moto, osservando che l'accelerazione iniziale è g e quella finale è nulla.

Svolgimento

• A) Su un corpo in caduta libera agiscono la forza peso e la resistenza del mezzo. Dalla 2^a legge della dinamica mg + fr = ma => mg - kv = ma. Ed essendo a diretta secondo l'asse y si ha: mg - kv = ma; e poiché v = dy/dt, a = d²y/dt² mg - k dy/dt = m d²y/dt²
• B) Dalla mg - kv = ma, si vede che a = 0 quando: mg - kv = 0, cioè la velocità terminale è v_t = mg/k
• C) Nella mg - kv = ma, o meglio nella mg - kv = m dv/dt. Sostituiamo v = v_t [1 - exp(-kt/m)] e dimostriamo così che questo è l'effettiva legge con cui varia la velocità. Infatti: mg - kv_t(1 - e^-kt/m) = m v_t k/m e^-kt/m; mg - kv_t + kv_t e^-kt/m = v_t k e^-kt/m Ed essendo mg = kv_t, l'equazione è effettivamente soddisfatta. v = v_t (1 - e^-kt/m)