La cupola scabra

La cupola scabra

Lavoro ed energia

La cupola scabra

Lavoro ed energia

Un corpo di massa m si trova in A sulla cima di una cupola semisferica di raggio R = 1 m (vedi Figura. 4.9). Il coefficiente di attrito dinamico tra il corpo e la superficie della cupola sia μ = 0,15. Determinare l’angolo θ₀ minimo definito nella figura dai raggi OA ed OA₀ oltre il quale il corpo inizia a scivolare sulla superficie della semisfera. Determinare poi la velocità tangenziale iniziale v₀ che deve avere il corpo per giungere da A alla posizione A₀ con velocità “quasi nulla”. Se infine il corpo scivola oltre la posizione A₀, quale sarà l’angolo θ_s corrispondente al distacco del corpo dalla superficie della cupola? Quale il modulo della velocità v_s del corpo al momento del distacco?

Nota: In questo problema si fa l’ipotesi che la forza tangenziale di attrito sia in ogni punto del percorso: f = − μ m g cosθ.

La forza di attrito in corrispondenza dell'angolo θ₀ è f = - μ m g cosθ₀ mentre la componente tangenziale del peso è F = m g senθ₀. Affinché il corpo possa iniziare a scivolare, deve verificarsi la condizione minima:

m g senθ₀ - μ m g cosθ₀ = 0

Semplificando si ottiene facilmente:

senθ₀ / cosθ₀ = tg θ₀ = μ (1)

Da cui si ricava l'angolo minimo θ₀ = arctg μ = 8°.5. In realtà il valore di θ dovrebbe essere leggermente superiore a quello calcolato, per effetto dell'attrito statico (μ_s > μ).

Se ora immaginiamo che il corpo parta dal punto A con velocità tangenziale v₀, dobbiamo anzitutto calcolare il lavoro L_a compiuto dalla forza di attrito. Poiché lo spostamento dipende da θ come pure la forza di attrito f, dobbiamo usare il calcolo integrale. Detto Rdθ lo spostamento infinitesimo sull'arco di circonferenza AA₀ e ricordando che la forza f è tangenziale e quindi in ogni punto parallela allo spostamento, otteniamo:

L_a = - μ m g R ∫₀^θ₀ cos θ dθ (2)

Il calcolo dell'integrale (2) è molto semplice e fornisce subito:

L_a = - μ m g R senθ₀

Possiamo ora applicare il principio di conservazione dell'energia, imponendo la condizione che nel punto A₀ la velocità sia nulla. Più esplicitamente, in A l'energia è m g R + (½) m v₀² + L_a; in A₀ è solo potenziale m g R cosθ₀; pertanto:

m g R + (½) m v₀² - μ m g R senθ₀ = m g R cosθ₀ (3)

La (3), opportunamente semplificata, e ricordando la (1) che fornisce μ in funzione dell'angolo θ₀ ormai noto, diventa:

g R + 1/2 v² = g R cosθ₀ + g R sen²θ₀ / cosθ₀

Ovvero:

g R + 1/2 v₀² = g R (cos²θ₀ + sen²θ₀) / cosθ₀ (4)

L’equazione (4), ricordando dalla trigonometria che cos²θ₀ + sen²θ₀ = 1, con qualche ulteriore passaggio diventa:

v₀² = 2gR(1−cosθ₀) / cosθ₀

Sostituendo i valori numerici ed estraendo la radice quadrata si ottiene infine:

v₀ ≅ 0,47 m/s

Se ora il corpo scivola oltre il punto A₀, ci proponiamo di determinare l’angolo θ_s per il quale avviene il distacco del corpo dalla superficie sferica. Il principio di conservazione dell’energia per la generica posizione P è espresso dalla solita equazione:

mgRcosθ₀ + L_a' = mgRcosθ + (½)mv² (5)

Ove:

L_a’ = −mμgR∫_θ0^θ cosθdθ = −mμgR (senθ − senθ₀)

L’equazione (5), utilizzando la (6) ed ancora la (1), con qualche passaggio algebrico si riduce a:

v² = 2gR / cosθ₀ [1−(cosθcosθ₀ + senθsenθ₀)] (7)

Servendoci ora delle formule trigonometriche di addizione e sottrazione, osserviamo che cosθcosθ₀ + senθsenθ₀ = cos(θ − θ₀). Pertanto la (7) assume la forma definitiva più semplice:

v² = 2gR / cosθ₀ [1−cos(θ−θ₀)] (8)

Si tratta adesso di scrivere la condizione per il distacco del corpo dalla superficie sferica. Essa è la stessa già utilizzata nel problema 4.6; occorre cioè che la componente radiale della forza peso deve almeno uguagliare la forza centrifuga (o essere inferiore ad essa). Dunque:

mg cos θ = mv² / R (9)

Cambiando θ in θ_s e sostituendo il valore di v² espresso dalla (8) nell’equazione (9), si trova:

gR cos θ_s = 2gR / cos θ₀ [1 - cos (θ_s - θ₀)]

Semplificando, svolgendo con pazienza i calcoli e ricordando le formule parametriche:

cos θ_s = (1 - t²) / (1 + t²); sen θ_s = 2t / (1 + t²) con t = tan θ_s / 2

Si giunge all’equazione:

(3 cos θ₀ + 2) t² - (4 sen θ₀) t - (3 cos θ₀ - 2) = 0 (10)

Che risolta per t, dopo aver scartato la soluzione negativa che non ha significato fisico, fornisce:

t = [2 sen θ₀ + √(4 sen² θ₀ + 9 cos² θ₀ - 4)] / (3 cos θ₀ + 2)

Da cui:

t = [2 sen θ₀ + 9 cos² θ₀ - 4 (1 - sen² θ₀)] / (3 cos θ₀ + 2)

Ricordando che (1 - sen² θ₀) = cos² θ₀ ed essendo t = tan (θ_s / 2), si ottiene il risultato:

tan θ_s / 2 = [2 sen θ₀ + √(5 cos θ₀)] / (3 cos θ₀ + 2) (11)

Dalla (11) è finalmente possibile dedurre l’angolo θ_s:

θ_s = 2 arctan [ (2 sen θ₀ + √(5 cos θ₀)) / (3 cos θ₀ + 2) ]